Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем

5.3. О вариационных подходах к решению нелинейных систем уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений f(u, v) = 0, g(u, v) = 0,

Рассмотрим функционал

Так как неотрицателен, то найдется точка такая, что но очевидно, достигается при f(u, v) = 0, g(u, v) = 0, т.е. на решении исходной системы уравнений.

Построим итерационный процесс, соответствующий методу градиентного спуска

где — параметр, который выбирается, например, из условия минимальности в данном направлении (метод наискорейшего спуска), {p_k, q_k} — вектор, определяющий направление минимизации. На каждом шаге итераций решается задача минимизации по одному аргументу.

5.4. Метод Чебышёва построения итерационных процессов высшего порядка

Предположим, что существует функция g(u), обратная к f(u). При этом u = g[f(u)], U = g(0). Пусть, кроме того, f(u) непрерывна и имеет необходимое число непрерывных производных на отрезке, внутри которого лежат все члены последовательности {u_k}, k = 0, 1, ... Обратная функция имеет такое же количество непрерывных производных, как и f(u). Разложим функцию g(f[v]) = g(h) в ряд Тейлора в окрестности корня - точки w = f(u)

Тогда, учитывая, что u = g[f(u)], w = f(u), h = f(v), получим

Можно показать, что итерационный метод

имеет порядок сходимости n + 1. Для вычисления производных обратной функции u = g[f(u)] воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

5.5. Разностные отображения в нелинейной динамике

Рассмотрим последовательность чисел ( R — множество вещественных чисел), каждый член которой связан с предыдущим рекуррентным соотношением

( 5.4)

где ( N — множество натуральных чисел). Соотношения (5.4) называются разностными отображениями (уравнениями) с дискретным аргументом.

Такие уравнения появляются при моделировании процессов, в которых величина u рассматривается через определенные промежутки времени. Например, еще в середине XIX века Ферхюльст для описания динамики популяционной системы предложил измерять ежегодно численность особей u_k, где k — номер года. Относительная численность u_{k + 1} полагалась пропорциональной численности в k год, однако она начинает убывать, когда животных становится много ( u_k сравнимо с 1):

( 5.5)

где

( 5.6)

Другой пример из экономической области — задача о банковских сбережениях. Пусть u₀ — денежный вклад, растущий в соответствии с постоянным процентом по закону:

Пусть далее законодательный орган, желая воспрепятствовать такому обогащению вкладчика, издает закон о том, чтобы процент убывал пропорционально u_k, т.е.