НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 3: Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский физико-технический институт

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Теорема (достаточное условие сходимости метода Якоби ) Итерационный метод Якоби сходится к решению соответствующей СЛАУ, если выполнено условие диагонального преобладания

${|{a_{ii}}| > \sum\limits_{\substack{j = 1 \\ (j \ne i)}}^n{| {a_{ij}}|}}, {i=1, \ldots, n}.$

( 2.24)

Доказательство.

Выполненные условия (2.24) означает, что в любой строке матрицы перехода

${\mathbf{B}} = \left( \begin{array}{cccccc} 0 & {- \frac{a_{12}}{a_{11}}} & {- \frac{a_{13}}{a_{11}}} & \ldots & {- \frac{a_{1n-1}}{a_{11}}} & {- \frac{a_{1n}}{a_{11}}}\\ {- \frac{a_{21}}{a_{22}}} & 0 & {- \frac{a_{23}}{a_{22}}}& \ldots & {- \frac{a_{2n-1}}{a_{22}}} & {- \frac{a_{2n}}{a_{22}}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {- \frac{a_{n1}}{a_{nn}}} & {- \frac{a_{n2}}{a_{nn}}} & {- \frac{a_{n3}}{a_{nn}}} & \ldots & {- \frac{a_{n,n-1}}{a_{nn}}} & 0 \\ \end{array} \right),$

сумма модулей элементов меньше единицы. В этом случае по крайней мере одна из норм матрицы $\mathbf{B}$ меньше единицы. Тогда выполняется достаточное условие сходимости метода простых итераций.

Теорема (критерий сходимости итерационного метода Якоби ). Для сходимости итерационного метода Якоби необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения

$\left| \begin{array}{cccc} {\lambda a_{11}} & {a_{12}} & \ldots & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {\lambda a_{22}} & \ldots & {a_{2n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & \ldots & {{\lambda a}_{nn}}\\ \end{array} \right| = 0$

по модулю не превосходили единицы.

Доказательство.

Легко проверить, что в силу диагональности $\mathbf{D}$ имеет место

$\det ({\mathbf{B}}- \lambda {\mathbf{E}}) = \det \left[{-{\mathbf{D}}^{- 1}({\mathbf{L}} + {\mathbf{U}}) - \lambda {\mathbf{E}}}\right] = \det ( -{\mathbf{D}}^{- 1}) \cdot \det \left[{({\mathbf{L}} + {\mathbf{U}}) +{\mathbf{D}}\lambda}\right].$

Собственными значениями матрицы $\mathbf{B} = -\mathbf{D}^{- 1}(\mathbf{L} + \mathbf{U})$ являются корни уравнения

$\det \left[{({\mathbf{L}}+{\mathbf{U}}) + {\mathbf{D}}\lambda}\right] = 0,$

которые в соответствии с критерием сходимости метода простой итерации должны быть по модулю меньше единицы.

Аналогичную теорему можно доказать и для метода Зейделя, однако матрица в этой теореме будет иметь другой вид:

$\left( \begin{array}{cccc} {\lambda a_{11}} & {a_{12}} & \ldots & {a_{1n}}\\ {\lambda a_{12}} & {\lambda a_{22}} & \ldots & {a_{2n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ {\lambda a_{n1}} & {\lambda a_{n2}} & \ldots & {\lambda a_{nn}}\\ \end{array} \right)$

Теорема (достаточное условие сходимости метода Зейделя (без доказательства)). Пусть $\mathbf{A}$ — вещественная, симметричная, положительно определенная матрица. В этом случае итерационный метод Зейделя сходится.

Доказательство этой теоремы сводится к проверке того, что выполнение условий теоремы для матрицы $\mathbf{A}= \mathbf{L} + \mathbf{D} + {\mathbf{L}}^{T}$ влечет выполнение условия сходимости итерационного метода с матрицей перехода — ${(\mathbf{L}+\mathbf{D})}^{-1}\mathbf{L}^T.$ СЛАУ с вещественной матрицей $\mathbf{A}$ такой, что $\det \mathbf{A} \ne 0$ может быть симметризована умножением на матрицу ${\mathbf{A}}^T$ :

$({\mathbf{A}}^{T}\mathbf{A})\mathbf{u} = \mathbf{A}^{T}\mathbf{f}$

(симметризация Гаусса).

Развитием метода Зейделя является метод релаксации. В этом методе вводится итерационный параметр $\tau,$ называемый параметром релаксации. Представим метод релаксации в матричной форме:

$(\tau {\mathbf{Lu}}_{k + 1} + {\mathbf{Du}}_{k + 1}) + (\tau - 1){\mathbf{Du}}_k + \tau{\mathbf{Uu}}_k = \tau\mathbf{f}.$

Выбирая $\tau,$ можно существенно изменять скорость сходимости итерационного метода. Выразим ${\mathbf{u}}_{k+1}$

${\mathbf{u}}_{k + 1} = - ({\mathbf{D}} + \tau{\mathbf{L}})^{- 1}\left[{(\tau - 1) {\mathbf{D}} + \tau{\mathbf{L}}}\right]{\mathbf{u}}_k + \tau ({\mathbf{D}}+ \tau {\mathbf{L}})^{- 1}\mathbf{f}.$

В общем случае задача вычисления $\tau _{опт}$ (оптимального итерационного параметра) не решена, однако известно, что $1 < \tau _{опт} < 2.$ В этом случае итерационный метод называется методом последовательной верхней релаксации или SОR — Successive Over Relaxation. Иногда встречается термин "сверхрелаксация" при $1 < \tau _{опт} < 2.$ При $0 < \tau < 1$ имеем метод нижней релаксации.

Дальше >>

Введение в вычислительную математику

Введение в вычислительную математику

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Введение в вычислительную математику

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Вопросы и ответы

Студенты