Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 3:

Геометрические преобразования

Линейной комбинацией векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} называется вектор \overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}. При этом числа \alpha и \beta называются коэффициентами разложения вектора \overrightarrow{c} по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.

Если два вектора \overrightarrow{r}_1 и \overrightarrow{r}_2 заданы своими координатами (x_1, y_1, z_1) и (x_2, y_2, z_2), то операции над ними легко выразить через эти координаты:

  • \overrightarrow{r}_1+\overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}=({x}_1+{x}_2,{y}_1+{y}_2,{z}_1+{z}_2);
  • \overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{r}_2=\overrightarrow{r}=({x}_1-{x}_2,{y}_1-{y}_2,{z}_1-{z}_2);
  • \alpha\overrightarrow{r}_1=\overrightarrow{r}=(\alpha{x}_1,\alpha{y}_1,\alpha{z}_1).

Векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c} называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю коэффициентов \alpha и \beta.

Справедливы следующие свойства:

  • Каковы бы ни были неколлинеарные векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}, для любого вектора \overrightarrow{c}, лежащего в одной плоскости с ними, существуют числа \alpha и \beta, такие, что \overrightarrow{c}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}, причем такая пара чисел для каждого вектора единственная. Такое представление вектора \overrightarrow{c} называется разложением по векторам \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}.
  • Каковы бы ни были некомпланарные векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} и \overrightarrow{c}, для любого вектора \overrightarrow{d} существуют числа \alpha, \beta и \gamma, такие, что \overrightarrow{d}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}+\gamma\overrightarrow{c}, причем эта тройка чисел для каждого вектора - единственная (разложение вектора \overrightarrow{d} по векторам \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} ).
  • Любые три вектора в системе координат плоскости являются линейно зависимыми.
  • Любые четыре вектора в системе координат пространства являются линейно зависимыми.

Говорят, что пара линейно независимых векторов на плоскости (тройка линейно независимых векторов в пространстве) образуют базис, поскольку любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Коэффициенты разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе. Если векторы базиса взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то базис называется ортонормированным, а векторы базиса называются ортами. Таким образом, базис из единичных векторов, направленных вдоль осей декартовой системы координат, является ортонормированным.

Скалярным произведением векторов \overrightarrow{r}_1 и \overrightarrow{r}_2 называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Будем обозначать скалярное произведение векторов символом (\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2). Тогда скалярное произведение можно выразить формулой

(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2=|\overrightarrow{r}_1|\cdot|\overrightarrow{r}_2|\cos\alpha).

Несложно доказать следующие свойства данной операции.

  • Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.
  • Если угол между двумя векторами острый, то скалярное произведение этих векторов положительно, если же угол тупой, то скалярное произведение отрицательно.
  • (\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\overrightarrow{r}_2\cdot\overrightarrow{r}_1) (свойство коммутативности).
  • \alpha(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\alpha\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=(\overrightarrow{r}_1\cdot\alpha\overrightarrow{r}_2) (сочетательное относительно числового множителя свойство).
  • ((\overrightarrow{r}_1+\overrightarrow{r}_2)\cdot\overrightarrow{r}_3)=(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_3)+(\overrightarrow{r}_2\cdot\overrightarrow{r}_3) (распределительное относительно суммы векторов свойство).
  • Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату длины вектора.

Приведем некоторые формулы, связанные с разложением вектора в декартовой системе координат.

Пусть векторы \overrightarrow{r}_1 и \overrightarrow{r}_2 заданы своими координатами (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2). Тогда их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

(\overrightarrow{r}_1\cdot\overrightarrow{r}_2)=x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2. ( 3.1)

Отсюда следует условие перпендикулярности векторов:

x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 = 0.

И, наконец, косинус угла между векторами вычисляется по формуле

\cos\varphi=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2}_{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}. ( 3.2)

Теперь расстояние между двумя точками с координатами (x_1,y_1,z_1) и (x_2,y_2,z_2) можно выразить через скалярное произведение соответствующих векторов:

d=|{(\overrightarrow{r}_1 - \overrightarrow{r}_2)}|.

Введем еще одно понятие, касающееся векторов. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим. При записи тройки векторов будем располагать эти векторы в порядке их следования. Так, запись \overrightarrow{b}\overrightarrow{a}\overrightarrow{c} означает, что первым вектором тройки является вектор \overrightarrow{b}, вторым - \overrightarrow{a}, третьим - \overrightarrow{c}.

Тройка векторов называется правой ( левой ), если после приведения к общему началу вектор \overrightarrow{c} располагается по ту сторону от плоскости, содержащей векторы \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, откуда кратчайший поворот от \overrightarrow{a} к \overrightarrow{b} кажется совершающимся против часовой стрелки ( по часовой стрелке ).

Векторным произведением вектора \overrightarrow{a} на вектор \overrightarrow{b} называется вектор \overrightarrow{c}, обозначаемый символом \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} и удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора \overrightarrow{c} равна произведению длин векторов \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} на синус угла между ними, т.е.
    |\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\sin\varphi;
  • вектор \overrightarrow{c} ортогонален векторам \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} ;
  • вектор \overrightarrow{c} направлен так, что тройка векторов \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c} является правой.

Приведем (без доказательства) основные свойства векторного произведения.

  • [\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]=-[\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}] (антисимметричность);
  • \alpha[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}]=[\alpha\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}] (сочетательное свойство относительно умножения на число);
  • [(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}]=[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}]+[\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}] (распределительное свойство относительно сложения);
  • [\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}]=0 для любого вектора \overrightarrow{a}.

Ясно, что векторное произведение двух коллинеарных векторов дает нулевой вектор. Выведем теперь формулy для векторного произведения. Пусть базисные векторы декартовой системы координат \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} образуют правую тройку. Тогда справедливы следующие соотношения:

\begin{gathered}
&[\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{j}]=\overrightarrow{k}=-[\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{i}], \quad
[\overrightarrow{j}\times\overrightarrow{k}]=\overrightarrow{i}=-[\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{j}], \\
[\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{i}]=\overrightarrow{j}=-[\overrightarrow{i}\times\overrightarrow{k}]
\end{gathered}

Если заданы два вектора \overrightarrow{r}_1=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k} и \overrightarrow{r}_2=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}, то, учитывая свойства векторного произведения, отсюда легко вывести, что

\overrightarrow{r}_3=[\overrightarrow{r}_1\times\overrightarrow{r}_2]=x_3\overrightarrow{i}+y_3\overrightarrow{j}+z_3\overrightarrow{k},
где
x_3=y_1 z_2-z_1 y_2, \quad y_3=z_1 x_2-x_1 z_2, \quad z_3=x_1 y_2-y_1 x_2. ( 3.3)

Сабина Бахриддинова
Сабина Бахриддинова
Дмитрий Трефилов
Дмитрий Трефилов

Александра Дельцова
Александра Дельцова
МГУ им. М.В. Ломоносова
Юлия Мелихова
Юлия Мелихова
Россия, Москва