НОУ ИНТУИТ | Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам . Лекция 6: Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 03.04.2013 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 21 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

5.2. Каноническая система преобразований универсальных дискретных модулей

Из приведенных выше данных видно: для полного описания работы МПЭ требуется формальная модель, которая включает некоторую процедуру перечисления либо всех функций из фиксированного класса $(F_{\alpha}\in\{F_{\alpha}\}$ - универсальный дискретный модуль (УДМ)), либо только из некоторого подкласса ( $F_{\alpha} \in \{\tilde{F}_{\alpha}\} \subset \{F_{\alpha}\}(F_{\alpha} \in \{\tilde{F}_{\alpha}\} \subset \{F_{\alpha}\}$ - многофункциональный дискретный модуль (МДМ)). В любом случае исходным для такого перечисления является класс или множество функций и задаваемые ими отношения эквивалентности. Поэтому раскроем роль и место преобразований, сохраняющих отношение в классах произвольнозначных логических и дискретных функций, заданных (5.2).

Определение 5.1. Подмножество $\{X^{s}_n\} _{b_j}\subset \{X^{s}_n\}$ наборов значений аргументов функции $F_{\alpha}$ называется эквизначным, если функция принимает на нем одно и то же значение b_j : $F_{\alpha} (\{X_n^s\}_{b_j}) = const = b_j$

Например, двузначная ЛФ двух переменных $F_{1}(x_2, x _{1}) = x _{2}*x _{1}$ принимает значение "ноль" на наборах $X_2^0 = (0,0), X^1_2 = (0,1), X_{2}^{2} = (1,0)$ и значение "единица" на наборе $X_{2}^{3} = (1,1)$ , то есть ЛФ "И" разбивает все векторное пространство $\{X_{2} ^{S}\}$ на два подмножества $\{X_{2} ^{S}\}_{0}$ и $\{X_{2} ^{S}\}_1$ мощности и соответственно.

Для произвольных $\gamma$ -значных функций ( $\gamma = \overline{1,k}$ ) число эквизначных подмножеств равно $\gamma$ .

Обозначим через $r_j = \{X_n^s\}_{b_j}|$ мощность -го эквизначного подмножества ( $r_j =\overline{0,Q + 1}$ ; $j = \overline{1,\gamma }$ ; $\sum_j{r_j}=Q + 1$ ).

Из определения 5.1 и (5.2) следует, что каждый вектор $X^{s}_n$ принадлежит только одному "эквизначному" подмножеству и поэтому отношение эквизначности является отношением эквивалентности, так как оно разбивает все множество $\{X^{s}_n\}$ на непересекающиеся подмножества $\{X^s_n\} _{b_j}.$

Справедливо утверждение 5.2: функция $F_{\alpha}$ и задаваемое ею отношение $R_{\alpha 1}$ эквизначности на множестве входных векторов $\{X^{s}_n\}$ инвариантны перестановкам $\{Ф_{w}\}_{R_{\alpha 1}}$ элементов внутри эквизначных подмножеств.

Следствие 5.1. Функция $F_{\alpha}$ инвариантна множеству перестановок мощности:

$|\{Ф_w\}_{R_{\alpha 1}}| = \prod_{j=1}^{\gamma}{r_j!}$

( 5.5)

Для простоты будем считать, что преобразования $\{Ф_w\}_{R_{\alpha 1}}$ определены на множестве индексов $\{s\}$ , а $\lambda$ -разбиения на эквизначные подмножества формируются вектором порогов $H_{\chi}$ с целочисленными компонентами $h_j (j\overline{1,\chi})$ заданными на $\{s\}$ .

Из определения 5.1 и (5.2) следует утверждение 5.3: отношение эквизначности, задаваемое фиксированным разбиением $\lambda$ , инвариантно подмножеству функций $\{F_{\alpha}\}_{\lambda}\subset \{F_{\alpha}\}$ , отличающихся только порядком размещения своих у значений над эквизначными подмножествами этого разбиения.

Следствие 5.2.1-разбиение заданной функции $F_{\alpha}$ инвариантно множеству функций $\{F_{\alpha}\}_{\lambda}$ мощности:

$|\{F_{\alpha}\}_{\lambda}| = A^{\gamma}_{\chi+1}$

( 5.6)

где $A^{\gamma}_{\chi+1}$ - размещения (возможно с повторениями) $\gamma$ значений $F_{\alpha}$ над $(\chi+1)$ эквизначным множеством.

Утверждения 5.2 и 5.3 говорят о том, что эквизначные подмножества $\{s\}^{\lambda}_{m_j}$ в одном и том же разбиении $\lambda$ можно рассматривать как неупорядоченное множество неупорядоченных подмножеств, отличающихся только количеством $r_{j}$ элементов в каждом.

Отсюда следует утверждение 5.4: фиксированное отношение эквизначности инвариантно перестановкам собственных равномощных подмножеств.

Обозначим через $\rho^{\lambda}_m$ мощность множества эквизначных подмножеств, имеющих в фиксированном $\lambda$ -разбиении одну и ту же мощность

$r_j^{\lambda} =m(\rho^{\lambda}_m=\overline{0,Q+1}, m=\overline{0,Q+1})$

Следствие 5.3. Отношение эквизначности инвариантно множеству перестановок $\{Ф_{\аlpha}\}_{R_{\аlpha 2}}$ собственных равномощных подмножеств, мощность которого:

$|\{Ф_{\аlpha}\}_{R_{\аlpha 2}} | = \prod_m{\rho^{\lambda}_m!}$

( 5.7)

В комбинаторике [90] числа $\{r^{\lambda}_m\}$ и $\{\rho^{\lambda}_m\}$ называют соответственно первичной и вторичной спецификациями, характеризующими с количественной стороны фиксированное $\lambda$ - разбиение. Чтобы учесть качественные отличия $\lambda$ -разбиений с одной и той же первичной и вторичной спецификациями, необходимо отличать эквизначные подмножества по составу входящих в них элементов.

Введем множество всевозможных перестановок векторов $X^{s}_n$ по индексу , такое, что мощность |G| = (Q+1) !. Тогда мощность $M_{w}$ множества $\lambda$ -разбиений, отличающихся только составом элементов в соответствии с (5.5 2.11) и (5.7 2.13) будет:

$M_w=\cfrac{(Q+1)!}{\prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}}$

( 5.8)

С учетом (5.6 2.12) мощность только $\gamma$ -значных функций $\{F_{\alpha}\}_{\gamma}$ (из класса -значных), инвариантных фиксированному $\lambda$ -разбиению, будет:

$M_{\gamma}^{\lambda} = | \{F_{\alpha}\}_{\gamma}^{\lambda}| = \cfrac{(Q+1)!k!}{\prod_j{r_{j}^{\lambda}!}\prod_j{\rho_{m}^{\lambda}!}(k-\gamma)!}$

( 5.9)

где вектор порогов $Н_{\chi}$ всегда имеет минимальную размерность $\chi = \gamma - 1$ .

Мощность всего $\gamma$ -значного (под)класса функций:

$M_{\gamma}= \sum_{\lambda}{M_{\gamma}^{\lambda}}$

( 5.10)

где суммирование ведется по всем допустимым $\lambda$ -разбиениям.

Мощность всего -значного класса функций:

$M_k = \sum_{\gamma}{M_{\gamma}} = \sum_{\gamma}\sum_{\lambda}{\cfrac{(Q+1)!}{\prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}}}$

( 5.11)

где суммирование ведется по всем минимально пороговым $\lambda$ -разбиениям числа (Q+1) , удовлетворяющим условию $\chi \le \gamma - 1$ .

В таблицах 5.1, 5.2 приведены примеры расчета мощностей соответствующих (5.8)-(5.11) подклассов функций $F_{\alpha}$ . При анализе этих таблиц следует помнить: М_w - мощность множества неупорядоченных подмножеств. С этих позиций разбиения со спецификациями (r_0, r_1) = (2,6) и (r_0, r_1) = (6,2) являются эквивалентными, и поэтому при определении мощности соответствующего подкласса учитывается только одно из них (см. табл. 5.2).

Таблица 5.1. Распределение двумерных двузначных ЛФ по lambda-подклассам
$n=q_1=q_2=k=2; Q+1=4;M_k=\sum{M_{\gamma}}=16$
$\gamma$	$\lambda$			$\rho_m$				$M^{w}$	$M^{\gamma}^{\lambda}$	$M^{\gamma}$
				$\rho_1$	$\rho_2$	$\rho_3$	$\rho_4$	$M^{w}$	$M^{\gamma}^{\lambda}$	$M^{\gamma}$
1	1	0	4	0	0	0	1	4!/4!=1	1*21=2	2
2	2	1	3	1	0	1	0	4!/1!3!=4	4*2!=8	14
2	3	2	2	0	2	0	0	4!/2!2!2!=3	3*2!=6	14

Таблица 5.2. Распределение трехмерных двузначных ЛФ по lambda-подклассам
$n=3;q_1=q_2=q_3=k=2; Q+1=8;M_k=\sum{M_{\gamma}}=256$
$\gamma$	$\lambda$			$\rho_m$								$M^{w}$	$M^{\gamma}^{\lambda}$	$M^{\gamma}$
$\gamma$	$\lambda$			$\rho_1$	$\rho_2$	$\rho_3$	$\rho_4$	$\rho_5$	$\rho_6$	$\rho_7$	$\rho_8$	$M^{w}$	$M^{\gamma}^{\lambda}$	$M^{\gamma}$
1	1	0	8	0	0	0	0	0	0	0	1	8!/0!8!=1	1*2!=2	2
2	2	1	7	1	0	0	0	0	0	1	0	8!/1!7!=8	8*2!=16	254
	3	2	6	0	1	0	0	0	1	0	0	8!/2!6!=28	28*21=56
	4	3	5	0	0	1	0	1	0	0	0	8!/3!5!=56	56*21=112
	5	4	4	0	0	0	2	0	0	0	0	8!/4!4!2!=35	35*21=70

При построении (5.11) фактически использовано три оператора:

перестановок входных векторов, мощность которого:
( 5.12-a)
разбиений упорядоченного множества векторов $\{X^{s}_n\}$ на эквизначные подмножества, мощность которого:
$|\Lambda | = \prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!}$ ( 5.12-б)
размещений $\gamma$ -значных функций (с выбором из возможных) над эквизначными подмножествами, мощность которого:
$|K|=\cfrac{k!}{(k-\gamma)!}$ ( 5.12-в)

Именно оператор позволяет рассматривать $\lambda$ -разбиения как неупорядоченное множество неупорядоченных подмножеств, так как при любом порядке перечисления эквизначных подмножеств в фиксированном $\lambda$ -разбиении всегда найдется порядок размещения $\gamma$ значений функции, отвечающий заданному отображению $F_{\alpha}$ : $X^{s}_n \to f_s$ .

Таким образом, используя преобразования, сохраняющие отношение эквизначности, удалось показать:

Комбинаторное соотношение (5.11) обеспечивает перечисление классов функций (5.2), причем перечислительный (а не вычислительный [118]) характер (5.11) и отвечающих ему преобразований следует из того, что в них входит индекс разбиения $\lambda$ .
Устойчивость реализации функций типа (5.2) вообще и динамическая устойчивость в частности обеспечивается флуктуацией или блужданием "рабочей точки" по множеству перестановок входных векторов, сохраняющих отношение эквизначности, причем мощность "рабочей области" равна $|\Lambda|$ .
Напротив, адаптация МДМ на одну из функций типа (5.2) связана с перечислением соответствующих параметров в операторах , $\Lambda$ , , изменяющих отношение эквизначности.
Полученные комбинаторные соотношения позволяют ввести формальную модель работы и настройки универсальных дискретных модулей (УДМ), которая базируется не на операциях булевой алгебры, а на общих теоретико-групповых преобразованиях.

Принятая в работе форма задания функции (5.2) идентична форме задания дискретных объектов в комбинаторике [90], и поэтому процесс адаптации УДМ, состоящий в переходе от одной функции к другой, оказывается идентичен процессу перечисления дискретных объектов,

который исследуется в рамках самостоятельной теории перечислимости Дж. Пойя [118].

В вычислительной технике перечисляемыми являются инструкции реализуемой программы, что и составляет основу управления ходом вычислительного процесса. С учетом наличия в программе операторов циклов, завершаемых по условию, а также операторов условных переходов реально реализуемый в ОКОД- или ОКМД-архитектурах поток инструкций частично упорядочен во времени, а в МКМД-архитектурах процессе - и в пространстве.

Таким образом, любой вычислительный процесс фактически состоит из двух подпроцессов: собственно вычисления, в рамках которого выполняются арифметико-логические преобразования операндов, и перечисления частных подготовительных и исполнительных инструкций, через которые выполняются требуемые преобразования данных.

Перечислительный процесс типа (5.11) исходит из общей комбинаторной схемы [90], преобразования которой можно представить [119]:

$(K * G) : \Lambda,$

( 5.13)

где:

, , $\Lambda$ - определенные в (5.12) соответственно группы подстановок значений реализуемой функции над эквизначными подмножествами и перестановок входных векторов и их разбиения на эквизначные подмножества;
- (полу)прямое произведение группы и ;
$\Lambda$ - подгруппа "эквизначности", заданная на (полу)прямом произведении с порядком
$|\Lambda | = \prod_j{r_j^{\lambda}!}\prod_m{\rho_m^{\lambda}!(k-\gamma)!}$
$(K*G):\Lambda$ - разложение (полу)прямого произведения групп и по факторгруппе "эквизначности" $\Lambda$ [119].

Если общая комбинаторная схема исследует классы дискретных объектов с количественной стороны и в предположении, что отношение эквивалентности на множестве объектов задается произвольным образом, то система преобразований (5.13) интересует нас с качественной стороны и в предположении, что отношение эквивалентности задается функциями (5.2).

Из (5.13) видно, что система преобразований, перечисляющая все $F_{\alpha}$ из $\{F_{\alpha}\}$ , основана на преобразованиях конечной симметрической группы [103, 120, 121] (группы подстановок), которые выполняются в следующем порядке:

вначале реализуется (полу)прямое произведение , учитывающее всевозможные способы упорядочения $\{ X^{s}_n\}$ и $f_{s}$ в двойках $\{(X^{s}_n, f_{s} )\}$ ;
затем с помощью факторгруппы $\Lambda$ из множества полученных таким образом пар $\{(X^{s}_n, f_s)\}$ устраняются все эквивалентные отображения $\{F_{\alpha} : X^{s}_n \to f_s\}_{\alpha}$ , отвечающие заданной $F_{\alpha}$ .

Поэтому (5.13) описывает процесс реализации заданной функции $F_{\alpha}$ , если вариации параметров , $\Lambda$ , не нарушают заданное этой функцией отношение "эквизначности". В противном случае (5.13) описывает процесс адаптации УДМ, в результате чего происходит выбор, а значит, и последовательное перечисление $F_{\alpha}$ из заданного класса.

Физическому порядку выполнения преобразований (5.13) обычно отвечает последовательность "перестановки - разбиения - подстановки":

$G*\Lambda*K,$

( 5.14)

где входные ( ), внутренние ( $\Lambda$ ) и выходные ( ) преобразования отвечают теоретико-групповым соотношениям (5.13), возможно, с некоторыми ограничениями, как это имеет место в МПЭ [79, 80].

Параметры преобразований (5.13) и (5.14) зависят только от классов "перечисляемых" функций и не зависят от особенностей работы и/или настройки реализующих эти преобразования УДМ. Это позволяет рассматривать (5.13) и (5.14) как каноническую тройку, задающую систему преобразований абстрактного УДМ, с помощью которого можно описать работу и настройку любого реального МДМ или УДМ.

Дальше >>

Введение в отказоустойчивые технологии высокопроизводительных вычислительных систем (суб)микронного, супрамолекулярного и нанометрового диапазона

Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам

Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

5.2. Каноническая система преобразований универсальных дискретных модулей

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в отказоустойчивые технологии высокопроизводительных вычислительных систем (суб)микронного, супрамолекулярного и нанометрового диапазона

Инструктивный синтез нанометровых вычислительных структур. От задач к вычислительным моделям и структурам

Базовые положения теории многофункциональных логических модулей

5.2. Каноническая система преобразований универсальных дискретных модулей

Вопросы и ответы

Студенты