Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Из (15.10) и определения W выводим неравенство

которое после использования обратного (15.15) отображения дает определение При этом, согласно (15.15), , .

Таким образом, линейное преобразование (15.15) переводит задачу (W,u^*,v^*) в задачу (T,0,0), удовлетворяющую условиям аксиомы симметрии. Простота этой задачи позволяет найти отвечающую ей сделку, руководствуясь непосредственно аксиомами Нэша. Требования рациональности, допустимости, не улучшаемости и вытекающее из шестой аксиомы условие удовлетворяются в единственной точке

лежащей на границе множества T (см. рис. 3.5).

Отображая точку (15.18) на плоскость (u,v) в соответствии с преобразованием (15.16) и принимая во внимание пятую аксиому, получаем, что пара есть единственная отвечающая аксиомам сделка в задаче (W,u^*,v^*). Наконец, учитывая включения и четвертую аксиому, выводим, что пара есть единственная удовлетворяющая аксиомам сделка в исходной задаче (S,u^*,v^*). Таким образом, единственная удовлетворяющая аксиомам сделка совпадает с точкой из определения (15.5).

Завершение доказательства теоремы. Остается рассмотреть случаи, когда не выполняются предположения (15.2). При этом возможны следующие три ситуации:

Заметим, что ситуации (15.19) и (15.20) не могут иметь место одновременно. Допущение такой возможности ведет (в силу выпуклости множества S ) к выполнимости условий (15.2) для всех внутренних точек отрезка, соединяющего две произвольные точки из (15.19) и (15.20).

Рассмотрим случай (15.19) (случай (15.20) рассматривается аналогично). Решение для таких задач определяется оператором вида

Рис. 3.6 иллюстрирует такой случай, заведомо не удовлетворяющий условиям симметрии из шестой аксиомы.

Решение (15.22) допустимо, рационально и неулучшаемо (для обеих сторон). Заметим также, что оно является единственным решением, удовлетворяющим первым трем аксиомам. Кроме того, правило (15.22) определяет пару как решение задачи , если . Т.е. четвертая аксиома также выполняется.

Любые преобразования вида (14.20) переводят горизонтальный участок границы множества S, лежащий на прямой u=v^*, в горизонтальный участок границы множества T, лежащий на прямой . Следовательно, правило (15.22) даст для задачи дележ , согласующийся с пятой аксиомой.

В случае (15.21), когда кооперация не может улучшить выигрыши сторон, положим . Соответствие такого решения аксиомам Нэша легко проверяемо.

Вернемся к рассмотренным выше примерам. Дележ , изображенный темным кружком в верхней части рис. 3.3, получен с помощью графического построения. Построение выполнено в соответствии с ранее описанным приемом. Этот дележ реализуется путем согласованного использования обеими сторонами пары чистых стратегий i=2, j=2 (см. табл. 3.1).

Допустимое множество для рассмотренной в "Нормальная форма конечной игры. Задание конечной игры в позиционной форме" задачи об ограничениях при ловле рыбы, представлено на рис. 3.7. Согласно (14.7)-(14.14), для содержащих седловые значения матриц этой задачи справедливы оценки:

Имеющее место совпадение всех указанных точек отражает то обстоятельство, что пара выигрышей (u^*,v^*) соответствует единственному в этой задаче устойчивому решению, реализуемому в чистых стратегиях при независимом поведении сторон.

Решение , оцененное графическим способом (см. рис. 3.7), существенно превосходит выигрыши, достижимые односторонними действиями участников. Таким образом, введение (по взаимному согласию сторон) системы контроля за соблюдением соглашения (например, путем организации проверок в местах лова рыбы) могло бы повысить их доходы (и дать средства для содержания инспекторов).

Допустимое множество для задачи о строительстве с долевым участием (см. "Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх" ) уже рассматривал ось (см. рис. 3.2). Этому примеру соответствуют оценки

Заметим, что указанная выше пара смешанных стратегий x^* и y^* не является равновесным решением задачи при независимом поведении сторон (см. табл. 2.9). Поэтому пары (u^*,v^*) и являются различными (см. рис. 3.8). Сделка, отвечающая аксиомам Нэша, соответствует точке , реализуемой уже обсуждавшейся рулеткой (14.5).