Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Замечание 3.3 (о графическом определении точки , доставляющей максимум функции g ). Согласно (15.9), (15.10), уравнение опорной прямой можно представить в виде

При этом уравнение прямой проходящей через точки (u^*,v^*) и , характеризуется тем же коэффициентом K, что и в (15.12) Таким образом, прямые линии (15.12) и (15.13) пересекаются в точке . Кроме того, они образуют равные (по абсолютной величине) и противоположные (по знаку) углы с вертикалью, опущенной из этой точки (в качестве иллюстрации см. рис. 3.3). Отмеченное соотношение углов может быть использовано для графического определения точки , соответствующей задаче (S,u^*,v^*).

Лемма 3.3. При выполнении условий (15.2) точка из (15.5) удовлетворяет всем аксиомам Нэша.

Доказательство Выполнение условий (14.15) и (14.16) является следствием определения (15.5). Допустим, что в множестве S существует точка (u',v'), доминирующая (т.е. улучшающая) отличную от нее точку . Тогда должно выполняться неравенство

противоречащее определению (15.5). Заметим, что из сделанного допущения вытекает включение . Т.е. аксиома (14.17) также должна выполняться.

Если , то максимум функции g(u,v) на множестве достигается в той же точке, что и на множестве S₀. Т.е. пара из определения (15.5) удовлетворяет условию (14.19).

Проверим выполнение пятой аксиомы. Согласно (14.20) и (15.3),

Теперь из (15.5) и (15.14) вытекает, что где T₀ есть образ S₀ при соответствии (14.20). Следовательно, и справедливость (14.21) установлена.

Пусть множество S симметрично, т.е. из включения следует включение , и пусть u^*=v^*. Тогда

и Теперь из единственности точки максимума вытекают следствия доказывающие справедливость аксиомы (14.22).

Лемма 3.4. При выполнении условий (15.2) точка из (15.5) есть единственная сделка, удовлетворяющая аксиомам Нэша.

Доказательство Определим множество

лежащее под опорной к нему прямой (15.9) и содержащее допустимое множество S (см. рис. 3.4). Введем линейное преобразование и определим множество T, являющееся образом W относительно преобразования (15.15).