Организационно-экономическая система управления материальными запасами промышленных корпоративных систем

4.3. Управление материальными запасами для нестационарных детерминированных условий

Метод динамического программирования.Чтобы использовать метод динамического программирования в решении приведенной выше оптимизационной задачи, приведем общую постановку задачи динамического программирования [5].

Рассматривается управляемый процесс, в данном случае процесс нахождения оптимальной стратегии управления запасами. В результате управления система (объект управления) переводится из начального состояния в состояние . Предположим, что управление можно разбить на шагов, т. е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность пошаговых управлений. Обозначим через управление на -м шаге ( ). Если управления удовлетворяют некоторым ограничениям решаемой задачи, то такие управления являются допустимыми ( может быть числом, точкой в -мерном пространстве, функцией, значением качественного признака, иным объектом нечисловой природы).

Пусть - управление, переводящее систему из состояния в состояние . Обозначим через состояние системы после -го шага управления ( где - множество всех возможных состояний на шаге ). Получаем последовательность состояний Пошаговый процесс перехода системы из состояния в состояние под действием управления представлен на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Процесс перехода системы S из состояния s_{0} в состояние s ^{\wedge}

Для данного процесса действуют следующие положения:

1. Состояние системы в конце -го шага зависит от предшествующего состояния и управления на -м шаге (и не зависит от предшествующих состояний и управлений). Это требование называется "отсутствием последствия". Сформулированное положение записывается в виде уравнений:

   ( 4.19)

   которые называются уравнениями состояний.
2. Эффективность каждого -го шага также зависит от предшествующего состояния и управления на -м шаге . Обозначим эффективность -го шага через
   

   тогда эффективность всего управления определяется как

   ( 4.20)

Задача пошаговой оптимизации (задача динамического программирования) формулируется следующим образом: определить такое допустимое управление , переводящее систему из состояния в состояние , при котором целевая функция (4.20) принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Решение поставленной задачи с помощью метода динамического программирования заключается в последовательной минимизации целевой функции за 1, 2 и т. д. интервала на основе принципа оптимальности Р. Беллмана: каково бы ни было состояние s системы в результате какоголибо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Рассмотрим последовательно определение оптимального управления на шаге и т. д., используя принцип оптимальности Р. Беллмана.

Рассмотрим -й шаг:

- состояние системы к началу -го шага

- конечное состояние системы;

- управление на -м шаге;

- целевая функция (выигрыш) го шага.

Согласно принципу оптимальности, нужно выбирать так, чтобы для любых состояний получить максимум целевой функции на этом шаге. Обозначим через максимум целевой функции - показателя эффективности -го шага при условии, что к началу последнего шага система была в произвольном состоянии , а на последнем шаге управление было оптимальным.

называется условным максимумом целевой функции на w-м шаге:

( 4.21)

Максимизация ведется по всем допустимым управлениям .

Решение , при котором достигается , также зависит от и называется условным оптимальным управлением на w-м шаге и обозначается .

Решив одномерную задачу локальной оптимизации по уравнению (4.21) для всех возможных состояний , находятся две функции: и .

Рассмотрим теперь двухшаговую задачу: присоединим к -му шагу ( )-й.

Для любых состояний , произвольных управлений и оптимальном управлении на -м шаге значение целевой функции на двух последних шагах:

( 4.22)

Согласно принципу оптимальности для любых решение нужно выбирать так, чтобы оно вместе с оптимальным управлением на последнем ( -м) шаге приводило бы к максимуму целевой функции на двух последних шагах. Следовательно, необходимо найти максимум выражения (4.22) по всем допустимым управлениям . Максимум этой суммы зависит от , обозначается через и называется условным максимумом целевой функции при оптимальном управлении на двух последних шагах. Соответствующее управление на ( )-м шаге обозначается через и называется условным оптимальным управлением на ( )-м шаге.

( 4.23)

С учетом уравнения состояния значение целевой функции зависит только от и . В результате максимизации только по одной переменной согласно уравнению (4.23) вновь получаем две функции: и .

Далее рассматривается трехшаговая задача: к двум последним шагам присоединяется -й и т. д.

Рассмотрим общий случай определения оптимального управления на шаге ( ). Обозначим через условный максимум целевой функции, полученный при оптимальном управлении на шагах, начиная с -го до конца, при условии, что к началу -го шага система находилась в состоянии . Фактически эта функция равна:

В свою очередь

С другой стороны, целевая функция на последних шагах (рис. 4.13) при произвольном управлении на -м шаге и оптимальном управлении на последующих шагах равна

( s_{k}))

Согласно принципу оптимальности, выбирается из условия максимума этой суммы, т. е.

( 4.24)

где .

Рис. 4.13. Процесс управления системой S на последних w-k шагах

Таким образом, определив из (4.21) значения и , а из (4.24) и уравнений состояний (4.19) значения и соответствующие получим последовательности:

-

условные максимумы целевой функции на последнем, на двух последних, на последних шагах и

-

условные оптимальные управления на -м, -м, , -м шагах.

Используя эти последовательности, можно найти решение задачи при данных и . При фиксированном получаем . Далее из (4.19) определяется и т. д.:

Таким образом, получаем оптимальное решение задачи:

Постановка задачи определения оптимальной стратегии нестационарной детерминированной системы управления запасами для решения методом динамического программирования.Чтобы разработать алгоритм решения поставленной в разделе 4.2 оптимизационной задачи, опишем ее в терминах динамического программирования. Объектом управления в данном случае является рассмотренная выше система управления запасами. Управление системой разбивается на пошаговых управлений ( - максимальное количество возможных поставок в течение периода планирования , увеличенное на единицу).

Управление , переводящее систему из состояния в состояние , представляет собой величину и момент времени -й поставки.

В общем случае величина поставки продукции на склад может принимать множество значений :

где - объем -го варианта поставки продукции.

Возможные варианты размеров поставок продукции могут быть определены исходя из ограничений (4.17):

( 4.25)

Общее количество вариантов поставки .

Каждая поставка может быть произведена в любой момент времени (в общем случае ).

Таким образом, множество возможных управлений на шаге можно представить в виде следующей матрицы порядка :

Управление представляет собой поставку объемом в момент времени на шаге .

Каждое управление переводит систему в соответствующее состояние , поэтому размерность множества состояний такая же, как и размерность множества возможных управлений . Множество возможных состояний можно представить в виде следующей матрицы:

Каждое состояние представляет собой величину запаса в момент времени после поставки .

Получим уравнение состояний для данной задачи. Из балансового уравнения (2.5) следует:

( 4.26)

Из условия задачи в конце планового периода в момент времени система должна находиться в состоянии . Тогда из (4.26) следует:

и т. д.

В общем случае получим:

( 4.27)

Предположим, что под воздействием управления система переходит из состояния в состояние , где - уровень запаса в системе в момент времени после -й поставки;

- уровень запаса в системе в момент времени после -й поставки.

Из (4.27) следует:

Преобразовав систему этих двух уравнений, получим:

( 4.28)

Последняя сумма в данном выражении - сумма поставок с момента ( ) до момента и равна , следовательно:

Уравнение (4.28) - это уравнение состояний для решаемой задачи.

Выразим эффективность -го шага, которая зависит от предшествующего состояния и управления на -м шаге , переводящего систему в состояние . Эффективность -го шага выражается из (4.16) и равна величине совокупных затрат, возникающих на шаге :

( 4.29)

Первое слагаемое в выражении (4.29) представляет собой стоимость транспортировки товара, поставленного на склад с момента времени ( ) до момента времени , приведенную к началу отчетного периода с учетом дисконтфактора . Поскольку на шаге при управлении производится всего лишь одна поставка товара в момент времени в размере , то:

( 4.30)

Преобразуем второе слагаемое выражения (4.29):

Поскольку за период времени с по запас не пополняется, а только расходуется, то из (4.18) получим:

и т. д.

Таким образом, при величину запаса в момент можно выразить как:

В момент времени производится поставка продукции в размере , поэтому из (4.18) имеем:

Таким образом, второе слагаемое в выражении (4.29) можно записать как:

( 4.31)

Подставив (4.30) и (4.31) в (4.29), получим:

( 4.32)

Величина в (4.32) - эффективность -го шага, а именно величину совокупных затрат на создание и пополнение запаса с момента (начало шага и до момента c (конец шага , если в момент система находилась в состоянии , и затем было выбрано управление .

Просуммировав для каждого шага , получим величину совокупных затрат на создание и пополнение запаса в течение планового периода :

( 4.33)

Таким образом, необходимо решить следующую задачу: определить такое допустимое управление , переводящее систему из состояния в состояние , при котором целевая функция (4.33) принимает наименьшее значение.