Описание неопределенностей в теории принятия решений

Теория нечеткости является обобщением интервальной математики. Действительно, функция принадлежности

задает интервальную неопределенность - про рассматриваемую величину известно лишь, что она лежит в заданном интервале . Тем самым описание неопределенностей с помощью нечетких множеств является более общим, чем с помощью интервалов.

Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. К настоящему времени по этой теории опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. Первая книга российского автора по теории нечеткости вышла в 1980 г.

Сам Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от "принадлежности" к "непринадлежности" не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами.

Л.А. Заде использовал термин "fuzzy set" (нечеткое множество). На русский язык термин "fuzzy" переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный.

Аппарат теории нечеткости громоздок. В качестве примера дадим определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Пусть и - два нечетких подмножества с функциями принадлежности и соответственно. Пересечением , произведением , объединением , отрицанием , суммой называются нечеткие подмножества с функциями принадлежности

соответственно.

Как уже отмечалось, теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории вероятностей, а именно, к теории случайных множеств. Однако при решении прикладных задач вероятностно-статистические методы и методы теории нечеткости обычно рассматриваются как различные.

Для знакомства со спецификой нечетких множеств рассмотрим некоторые их свойства.

В дальнейшем считаем, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества .

Законы де Моргана для нечетких множеств. Как известно, законами де Моргана называются следующие тождества алгебры множеств

( 5)

Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества

( 6)

( 7)

Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (6) и (7) путем вычисления значений функций принадлежности участвующих в этих соотношениях нечетких множеств на основе определений, данных выше.

Тождества (6) и (7) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (5), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношения (5) в алгебре множеств, законы де Моргана в алгебре нечетких множеств позволяют преобразовывать выражения и формулы, в состав которых входят операции отрицания.

Дистрибутивный закон для нечетких множеств. Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, за исключением случая, когда - "четкое" множество (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 и 1).

Верен ли дистрибутивный закон для нечетких множеств? В литературе иногда расплывчато утверждается, что "не всегда". Внесем полную ясность.

Теорема 2. Для любых нечетких множеств , и

( 8)

В то же время равенство

( 9)

справедливо тогда и только тогда, когда при всех

Доказательство. Фиксируем произвольный элемент . Для сокращения записи обозначим Для доказательства тождества (8) необходимо показать, что

( 10)

Рассмотрим различные упорядочения трех чисел . Пусть сначала Тогда левая часть соотношения (10) есть а правая т.е. равенство (10) справедливо.

Пусть Тогда в соотношении (10) слева стоит а справа т.е. соотношение (10) опять является равенством.

Если то в соотношении (10) слева стоит а справа т.е. обе части снова совпадают.

Три остальные упорядочения чисел a, b, c разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (10) числа b и c входят симметрично. Тождество (8) доказано.

Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами

и

Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда что и требовалось доказать.

Определение 1. Носителем нечеткого множества называется совокупность всех точек , для которых

Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств В и С совпадают с У, то равенство (9) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.

Доказательство. По условию при всех . Тогда из теоремы 2 следует, что т.е. или , что и означает, что - четкое множество.

Пример описания неопределенности с помощью нечеткого множества. Понятие "богатый" часто используется при обсуждении социально-экономических проблем, в том числе и в связи с подготовкой и принятием решений. Однако очевидно, что разные лица вкладывают в это понятие различное содержание. Сотрудники Института высоких статистических технологий и эконометрики провели в 1996 г. социологическое исследование представления различных слоёв населения о понятии "богатый человек".

Мини-анкета опроса выглядела так:

1. При каком месячном доходе (в млн. руб. на одного человека) Вы считали бы себя богатым человеком?
2. Оценив свой сегодняшний доход, к какой из категорий Вы себя относите:
   • богатые;
   • достаток выше среднего;
   • достаток ниже среднего;
   • бедные;
   • за чертой бедности?
   • (В дальнейшем вместо полного наименования категорий будем оперировать буквами, например "в" - категория, "б" - категория и т.д.)
3. Ваша профессия, специальность.

Всего было опрошено 74 человека, из них 40 - научные работники и преподаватели, 34 человека - не занятых в сфере науки и образования, в том числе 5 рабочих и 5 пенсионеров. Из всех опрошенных только один (!) считает себя богатым. Несколько типичных ответов научных работников и преподавателей приведено в табл. 9.1, а аналогичные сведения для работников коммерческой сферы - в табл.9.2.

Разброс ответов на первый вопрос - от 1 до 100 млн. руб. в месяц на человека. Результаты опроса показывают, что критерий богатства у финансовых работников в целом несколько выше, чем у научных (см. гистограммы на. рис 9.1 и рис.9.29.2 ниже).

Опрос показал, что выявить какое-нибудь конкретное значение суммы, которая необходима "для полного счастья", пусть даже с небольшим разбросом, нельзя, что вполне естественно. Как видно из таблиц 9.1 и 9.2, денежный эквивалент богатства колеблется от 1 до 100 миллионов рублей в месяц. Подтвердилось мнение, что работники сферы образования в подавляющем большинстве причисляют свой достаток к категории "в" и ниже (81% опрошенных), в том числе к категории "д" отнесли свой достаток 57%.

Со служащими коммерческих структур и бюджетных организаций иная картина: "г" - категория 1 человек (4%), "д" - категория 4 человека (17%), "б" - категория - 46% и 1 человек "а" - категория.

Пенсионеры, что не вызывает удивления, отнесли свой доход к категории "д" (4 человека), и лишь один человек указал "г" - категорию. Рабочие же ответили так: 4 человека - "в", и один человек - "б".

Для представления общей картины в табл. 9.3 приведены данные об ответах работников других профессий.