Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Теорема 9.5.1. Пусть , B и C - ступенчатые матрицы, полученные из ненулевой матрицы A конечным числом элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов. Тогда:

1. системы строк {B₁,...,B_m} матрицы B и {C₁,...,C_m} матрицы C в линейном пространстве строк Kⁿ линейно выражаются друг через друга (другими словами, линейные оболочки строк матриц A, B и C в K^n совпадают:
2. числа r₁ и r₂ ненулевых строк в ступенчатых матрицах B и C соответственно совпадают (при этом ; другие интерпретации числа r=r(A) будут даны в теореме 9.16.1 о ранге матрицы);
3. лидеры строк ступенчатых матриц B и C располагаются в одних и тех же столбцах;
4. если B и C - главные ступенчатые виды ненулевой матрицы , то B=C.

Доказательство.

1. В силу замечания 9.4.5, в линейном пространстве строк Kⁿ системы строк {A₁,...,A_m} матрицы A и {B₁,...,B_m} матрицы B линейно выражаются друг через друга. Аналогично, системы строк {A₁,...,A_m} матрицы A и {C₁,...,C_m} матрицы C также линейно выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитивность линейной выражаемости систем строк (см. следствие 9.4.2), получаем, что системы строк {B₁,...,B_m} матрицы B и {C₁,...,C_m} матрицы C линейно выражаются друг через друга. Следовательно,
   
2. Так как ненулевые строки ступенчатой матрицы образуют максимально независимую подсистему строк, то из 1) следует, что r₁=r₂ (см. следствие 9.4.10), при этом
   
3. Пусть лидеры r ненулевых строк B₁,B₂,...,B_r ступенчатой матрицы B расположены в столбцах с номерами k₁,k₂,...,k_r, k₁<k₂<...<k_r, а лидеры r ненулевых строк C₁,C₂,...,C_r ступенчатой матрицы C расположены в столбцах с номерами l₁,l₂,...,l_r, l₁<l₂<...<l_r. Так как системы строк {B₁,B1_2,...,B_r}, {C₁,C₂,...,C_r} линейно выражаются друг через друга, то, в силу леммы 3.5.5 и следствия 3.5.6, k₁=l₁ ( ; ).

   Продолжая этот процесс, убеждаемся в том, что .
4. В 2) и 3) доказано, что число ненулевых строк r и номера столбцов l₁,...,l_r, , в которых находятся главные неизвестные главных ступенчатых видов B и C, определены однозначно. Таким образом, разбиения на главные и свободные неизвестные, определяемые ступенчатыми видами B и C, совпадают. Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравнений с главными ступенчатыми матрицами B и C ), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание 3.6.9, то B=C ).

Замечание 9.5.2 (матричное доказательство п. 4 теоремы о единственности главного ступенчатого вида). Для существуют такие обратимые матрицы (произведения матриц, соответствующих элементарным преобразованиям строк), что

Следовательно, Используя определение главного ступенчатого вида и переставляя столбцы матриц B и C, имеем: где (матрица Q - обратимая матрица, соответствующая последовательности элементарных преобразований столбцов; мы уже доказали в п. 2 и 3, что числа r и столбцы j₁,...,j_r, в которых стоят лидеры строк, одинаковы для ступенчатых матриц B и C, соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (если k=r=m )). Следовательно, матрица D имеет следующий блочный вид: где матрица (если r<m ) состоит из произвольных элементов поля K. Поэтому, умножая D на и приравнивая к получаем, что *=*' M _{m-r, n-r}. Умножая (9.1) справа на Q^-1, получаем B=C.