НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 5: Численные методы решения экстремальных задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

4.3. Задачи математического программирования

Под линейным программированием понимают часть экстремальных задач, рассматривающую минимизацию линейных функций и переменных при наличии дополнительных линейных условий трех типов:

$\begin{gather*} \min\Phi (u);\Phi (u) = \sum\limits_{i = 1}^n{c_iu_i }; \\ u_i \ge 0; 1 \le i \le n; \\ \sum\limits_{i = 1}^n{a_{ij} u_i } = b_j ,1 \le j \le J_1 \\ \sum\limits_{i = 1}^n{c_{ij} u_i \le b_j } , 1_1 < j \le J_2 \\ \end{gather*}$

( 4.3)

Каждое из этих условий определяет полупространство, ограниченное гиперплоскостью; вместе эти условия определяют выпуклый n -мерный многогранник J', являющейся пересечением полупространств. Условия типа равенств выделяют из n - мерного пространства (n - m) -мерную плоскость. Ее пересечение с M дает выпуклый (n - m) -мерный многогранник G. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти минимум линейной функции $\Phi (u)$ в многограннике G.

G — выпуклый многогранник (возможно и неограниченный), поэтому внутри него линейная функция $\Phi (u)$ не может достигать минимума. Показывается, что ее минимум, если он существует, достигается в какой-то из его вершин. Теоретически задача линейного программирования достаточно проста: необходимо вычислить значение функций в конечном числе точек — вершинах многогранника, сравнить их между собой и найти среди них наименьшее. Однако трудность заключается в том, что в экономических задачах количество переменных порядка $10^{2} \div 10^{4},$ поэтому решение оказывается достаточно сложным.

Пример. Рассмотрим следующую простую задачу линейной оптимизации на плоскости: найти $min\Phi (u) = c_{1}u_{1} + c_{2}u_{2}$ при ограничениях

$\left\{ \begin{array}{l} a_{11} u_1 + a_{12} u_2 = b_1 \\ a_{21} u_1 + a_{22} u_2 = b_2 \\ u_1 \ge 0,u_2 \ge 0. \\ \end{array} \right.$

Рис. 4.10.

Рис. 4.11.

Неравенства $u_1 \ge 0$ и $u_2 \ge 0$ выделяют I квадрант плоскости (u₁, u₂), а линейная функция $\Phi (u) = c_{1}u_{1} + c_{2}u_{2}$ при определенных c₁, c₂ задает в этом квадранте семейство прямых уравнением c₁u₁ + c₂u₂ = d ( d неизвестно) (рис. 4.10).

Вообще говоря, ограничения в форме равенств могут быть следующего типа: отсутствует, одно ограничение, два ограничения (последний случай соответствуют рассматриваемому). Пусть СЛАУ в данном примере имеет единственное решение u^* = (u_1^*,u_2^*).

Если выполнены неравенства $u_1 \ge 0, u_2 \ge 0,$ то u^* и есть решение задачи линейной оптимизации, а $\min\Phi (u) = c_1 u_1^* + c_2 u^*_2$ (рис. 4.11).

Если же, например, u_1^* < 0 и u_2^* < 0 то задача линейного программирования неразрешима, так как по условию решения находится внутри первого квадранта. В данном случае ограничения определяют единственное решение рассматриваемой задачи, а целевая функция принимает "навязанное" значение $\Phi (u^{*}).$ Процесс решения оказался весьма простым. Если бы имелось больше условий типа неравенств и меньше равенств, рассмотрение оказалось бы более сложным.

Пример. Графическое решение задачи

$\begin{gather*} \min\Phi (u) = - 3u_1 - 3u_2, \\ u_1 + 2u_2 \le 7, \\ 2u_1 + u_2 \le 8, \\ u_2 \le 3, \\ u_2 \le 3, \\ u_1 \ge 0, \\ u_2 \ge 0 \end{gather*}$

приводит к решению u^* = (3, 2) и $\Phi (u^{*}) = - 15.$ Для решения задачи рассматриваются линии уровня функции $\Phi (u),$ т.е. семейство параллельных прямых - 3u₁ - 3u₂ = d = const.

Нормальный к этим прямым вектор $- \Phi '_{u}(u)$ указывает направление убывания целевой функции. Решением задачи u^* является одна из вершин многогранника, образованного прямыми системы неравенств.

4.4. Задачи

Свести задачу о нахождении решения системы нелинейных уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} u - 5 \cdot 10^{- 2} e^{{uv}} = 0, \\ v - 5 \cdot 10^{- 2} e^{- (u + v)} = 0, \\ \end{array} \right.$

к вариационной задаче в области $\Omega = \{|u - 0,1| \le 0,1; |v - 0,1| \le 0,1\}.$

Решение. Решение системы сводится к нахождению условий минимума функционала

$\Phi ({u,v}) = (u - 5 \cdot 10^{- 2} e^{{uv}})^2 + (u - 5 \cdot 10^{- 2} e^{- (u + v)})^2.$
Свести задачу о нахождении минимума функции
$\Phi ({u,v}) = u^4 + v^4 - u^2 - v^2 \mbox{ в области } \Omega > \{|u| \le 1; |v| \le 1\}.$

к решению системы алгебраических уравнений.

Решение. Задача о нахождении минимума функции $\Phi (u,v)$ сводится к решению системы уравнений
$$ \frac{\partial\Phi }{\partial u} = 0 $,$

$$ \frac{\partial\Phi }{\partial v} = 0 $.$
Найти значения {x, y}, при которых достигается минимум функции f(x,y) = x³ + y³ - 3xy.
Решение. Вычислим частные производные
$$ \frac{\partial f}{\partial x} $,$

$\frac{\partial f}{\partial y}$
и приравняем их к нулю. Получим систему двух нелинейных уравнений 3x² - 3y = 0, - 3x + 3y² = 0. Решениями этой системы являются пары {0, 0}, {1, 1}. Подстановкой убеждаемся, что вторая точка является точкой глобального минимума.
Методом деления отрезка пополам найти точку локального минимума для функции f(x) = x³ + e^{- x} - x на отрезке [0, 1] с точностью $\varepsilon = 10^{ - 2}.$
Решение. Обозначим границы отрезка a₀ = 0, b₀ = 1 и зададим
$$ \frac{\Delta }{2} = \delta = 10^{- 3} $.$

Вычислим
$f \left({\frac{a_0 + b_0 - \Delta }{2}}\right) \approx 0,2324$
и
$$ f \left({\frac{a_0 + b_0 + \Delta }{2}}\right) \approx 0,2307 $.$
Так как второе значение меньше первого, то положим {a₁, b₁ } = {0.4990, 1} . Продолжая далее, получим {a₂, b₂ } = {0,4990; 0,7505}, {a₃, b₃} = {0,6238; 0,7505}, {a₄, b₄} = {0,6861; 0,7505}, {a₅, b₅ } = {0,6861; 0,7191}, {a₆, b₆ } = {0,7016; 0,7191}, {a₇, b₇ } = {0,7101; 0,7198} .
С помощью метода Ньютона найти минимум функции F(t) = sin t - cos t, t₀ = - 0,5.
Решение. Найдем точку минимума функции F(t) как корень уравнения F'(t) = 0. Для этого построим итерационный процесс Ньютона:

$t_{n + 1} = t_n - \frac{{F^{\prime}}(t_n )}{F^{\prime\prime}(t_n )}, t_0 = - 0,5.$

При t₀ = - 0,5 имеем $F'(t_{0}) = \cos t + \sin t \approx 0,3982,$ $F''(t_{0}) = - \sin t_{0} + \cos t_{0} \approx 1,3570,$
$$ t_1 = t_0 - \frac{0,3982}{0,1357} \approx - 0,7934 $.$
Дальнейшие вычисления дают t₂ = - 0,7854, t₃ = - 0,7854.

4.5. Задачи для самостоятельного решения

Найти точку локального минимума функций:
$\begin{gather*} f(x,y) = 3x^2 - 2x\sqrt y + y - 8x + 8, \\ f(x,y) = x^3 + 8y^3 - 6xy + 1, \\ f(x,y) = x^2 + y^2 + xy + x - y + 1, \\ f(x,y) = 2x^3 - xy^2 + 5x^2 + y^2. \end{gather*}$
Найти точку локального минимума функций:
$\begin{gather*} f(t) = 2x^2 - \ln x, \\ f(t) = \frac{t^3}{3} + t^2, \\ f(t) = \frac{t^4}{4} - 2t^2, \\ f(t) = t{\kern 1pt} e^{- \frac{t^2}{2}} , \\ f(t) = 3t^4 - 8t^3 + 6t^2, \\ f(t) = (t - 5)e^{t} , \\ f(t) = \frac{t^2 - 3}{{t + 2}}. \end{gather*}$

используя методы дихотомии и сведения вариационной задачи к решению алгебраического уравнения.
Найти точки локального минимума функций
$\begin{gather*} f(x,y) = (x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2, \\ f(x,y) = (x^2 + y^2 - 1)^2 + (y - x\sin x)^2, \\ f(x,y) = x^3 + 8y^3 - 6xy + 1, \\ f(x,y) = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (x - y - 4)^2, \\ f(x,y) = 2x^3 - xy^2 + 5x^2 + y^2 \end{gather*}$

методом покоординатного спуска.