Опубликован: 20.01.2011 | Уровень: для всех | Доступ: свободно
Лекция 20:

Размещение элементов электрической схемы

< Лекция 19 || Лекция 20: 1234 || Лекция 21 >

20.4. Алгоритмы последовательного размещения элементов по связности

Исходной информацией для размещения элементов является:

  • схема соединений;
  • параметры конструкции элементов и коммутационного поля.

Прежде всего, рассмотрим наиболее представительные алгоритмы, использующие последовательный процесс установки элементов в позиции.

Пусть, Е = \{ e_{1} ,  e_{2} , ... ,  e_{n} \} - множество элементов, подлежащих размещению, а Р = \{ р_{1} ,  р_{2} , … ,  р_{n} \} - множество позиций для их установки.

Вводится n - шаговый процесс принятия решений, на каждом шаге которого выбирается один из неразмещённых элементов и помещается в одну из незанятых позиций.

Структура любого последовательного алгоритма размещения определяется правилами выбора очередного элемента и позиции для его установки.

Пусть, Е_{к } - элементы, размещённые до k - го шага, а Р_{k} - позиции, занятые этими элементами; \overline{E}_{k } и \overline{P}_{k} - соответственно, неразмещённые элементы и незанятые позиции.

Перед началом размещения могут быть две ситуации:

  • нет размещённых ранее элементов, внешние выводы узла (контакты, разъёмы и т.п.) не закреплены (в этом случае в алгоритме должен быть особо определён способ установки первого элемента);
  • имеется группа заранее размещённых элементов или закреплённых внешних выводов.

В основу большинства последовательных алгоритмов размещения положен принцип оптимизации целевой функции, сводящийся к выбору на данном шаге локально оптимальной позиции для одного из элементов при неизменности положения ранее размещенных элементов.

Поскольку критерий минимума суммарной длины соединений наиболее распространён, он и будет рассмотрен при описании алгоритмов данной группы.

Рассмотрим последовательный алгоритм по связности. В алгоритмах размещения по связности элемент и позиция выбираются независимо.

Выбор элемента

Любое правило выбора элемента для размещения основано на вычислении "меры связности" ещё не размещённых элементов с уже размещёнными.

Мерой связности двух элементов e_{i } и e_{j} является количество соединений между ними, заданное в матрице соединений R= || r _{i j} || _{n x n}. Существуют различные способы расчёта значений r _{i j}.

Так, в алгоритмах " попарных связей " для каждого неразмещённого элемента e_{i} подсчитывается характеристика

С_{i} = \max\limits_{ e_{j}\in  E_{k }} r _{i j } = \sum{r _{i j }}, ( 20.6)

причем, r _{i j} рассчитывается по формуле

r _{i j} = \sum{\cfrac{\rho_S +\lambda}{\rho_S}}\times W_S, ( 20.7)

в которой r _{i j  } - множество цепей, связывающих элементы e_{i} и e_{j} ;

\rho_{s} - размер цепи;

w_{s} - весовой коэффициент;

\lambda - целочисленный параметр.

Параметр \lambda позволяет дифференцировать вклад цепей различного размера. Чем больше значение \lambda, тем больше влияние цепей с малым значением \rho_{s}.

Очередным размещённым элементом является элемент, имеющий максимальную характеристику (20.6), т.е. выбор элемента осуществляется по наибольшему числу связей с уже размещёнными элементами.

Существует и другое правило выбора очередного размещаемого элемента, основанное на оценке числа связей размещаемого элемента e_{i} \in  E_{k} как с размещёнными, так и с неразмещёнными элементами (характеристика абсолютной связности ):

С_{i} = \sum\limits_{ e_{j}\in  E_{k}}{ r _{i j   }}-  \sum\limits_{ e_{j}\in  \overline{E}_{k}}{ r _{i j }}. ( 20.8)

}В этом случае выбирается элемент с максимальным значением С_{i} (20.8) (данный выбор аналогичен принципу максимальной конъюнкции - минимальной дизъюнкции, применяемому в алгоритмах компоновки).

К этому же типу относится характеристика относительной связности:

С_{i} = \cfrac{\sum\limits_{ e_{j}\in  E_{k}}{ r _{i j  }}}{\sum\limits_{ e_{j}\in  \overline{E}_{k}}{ r _{i j }}}. ( 20.9)

На очередном шаге алгоритма размещается элемент, имеющий максимальный коэффициент относительной связности.

Рассмотренные характеристики не зависят от положений элементов, поэтому в принципе может быть выполнено предварительное упорядочение всех элементов, а потом уже и их размещение.

Рассмотрим исходную матрицу смежности с элементом x_{0}, который в нашем случае содержит клеммы К1, К2, К3, К4 (рис. 20.2). Он является уже фиксированным элементом, поэтому размещать остальные элементы будем по отношении к нему.

Первый шаг.

C1 = 3r_{10 }/ r_{13} = 3/1=3;  \;\;\;        C2 = r_{20 }/ (r_{23}+2r_{24}) = 1/3;  \;\;      C3 = r_{30 }/ (r_{31}+r_{32}+2r_{34}+r_{35}) = 0;\\
 C4 = r_{40}/ (2r_{42 }+ 2r_{43 }+ r _{46}) = 0;\;\;\;    C5 = r_{50}/ (r_{53 }+r_{56})= 0;    \\
 C6 = r_{60}/ (r_{64}+r_{65}+r_{67}) = 0;                \;\;\; C7 = r_{70 }/ r_{76 }= 1.

Максимальную характеристику имеет элемент x_{1}, следовательно, его размещаем вторым. Имеем: x_{0}; x_{1}.

Второй шаг. Расчет проводим с учетом этих двух размещенных элементов:

C2 = (r_{20}+r_{21}) / (r_{23}+2r_{24})  = 1/3;           \\
C3 = (r_{30 }+r_{31}) / (r_{32}+2r_{34}+r_{35}) = 1/4;       \\
C4 = 0; \;\;C5 = 0; \;\;   C6 = 0; \;\; C7 = 1.

Макимальную характеристику имеет элемент х_{7}, поэтому его размещаем третьим. Имеем: x_{0}; x_{1}; x_{7}.

Третий шаг. Произведём расчёт с учётом уже трёх размещённых элементов:

C2 = (r_{20}+r_{21}+r_{27}) / (r_{23}+2r_{24}) = 1/3;        \\
C3 = (r_{30 }+r_{31}+r_{37}) / (r_{32}+2r_{34}+r_{35})  =1/4; \\
C4 = (r_{40 }+r_{41}+r_{47}) / (2r_{42}+2r_{43}+r_{46}) = 0;    \\
C5 = 0;   \\
С6=1/2.

Максимальную характеристику имеет элемент x_{6}, поэтому шестой элемент размещаем четвёртым. Имеем: x_{0}; x_{1}; x_{7}; x_{6}.

Четвертый шаг. Производим расчет с учетом четырех размещенных элементов:

C2 = \cfrac{r_{20}}{r_{23}+2r_{24} }= \cfrac{1}{3};\\
C3 = \cfrac{r_{31} }{r_{32}+2r_{34}+r_{35}} = \cfrac{1}{4};\\
C4=\cfrac{1}{4};\\
С5 = 1.

Максимальную характеристику имеет элемент x_{5}, его размещаем пятым. Имеем: x_{0}; x_{1}; x_{7}; x_{6}; х_{5}.

Пятый шаг. Производим расчет с учетом уже пяти размещенных элементов.

C2 = r_{20} / (r_{23}+2r_{24}) = \cfrac{1}{3};\\
C3 = (r_{31}+r_{35}) / (r_{32}+2r_{34}) = \cfrac{2}{3};   \\
С4 = \cfrac{1}{4}.

Максимальную характеристику имеет элемент x_{3}, следовательно, третий элемент размещаем шестым. Имеем: x_{0}; x_{1}; x_{7}; x_{6}; х_{5}; x_{3}.

Шестой шаг. Производим расчет с учетом уже шести размещенных элементов.

C2 = (r_{20}+r_{23}) / 2r_{24}= 1;   \;\;\; С4=3/2 =1,5.

Максимальную характеристику имеет элемент x_{4}, следовательно, его размещаем седьмым.

Окончательная последовательность размещения будет такой:

x_{0}; x_{1}; x_{7}; x_{6}; х_{5}; x_{3}; х_{4}; х_{2}.
< Лекция 19 || Лекция 20: 1234 || Лекция 21 >
Дмитрий Плаксин
Дмитрий Плаксин
Киргизстан
Владимир Старостин
Владимир Старостин
Россия, Москва, 179, 1975