Помогите решить задание лекции 3 курс Математическая теория формальных языков |
Алгоритмически неразрешимые проблемы
16.4. Проблема автоматности
Лемма 16.4.1. Пусть , , где , и для всех i. Тогда язык является автоматным в том и только том случае, когда постовская система соответствия не имеет решений.
Доказательство Пусть - решение постовской системы соответствия , где для всех i. Положим
Легко проверить, что , и язык L0 является автоматным. Очевидно, что Как было установлено в упражнении 3.4.2, язык не является автоматным. Согласно теореме 3.2.1 язык не является автоматным. Следовательно, и язык не является автоматным.Обратно, если постовская система соответствия не имеет решений, то , а этот язык является автоматным.
Теорема 16.4.2. Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом узнать, является ли автоматным язык L(G).
Доказательство Докажем утверждение теоремы для случая . Из леммы 16.4.1 следует, что если бы проблема распознавания автоматности языка L(G) для контекстно-свободных грамматик над алфавитом была разрешима, то также была бы разрешима проблема соответствий Поста для постовских систем соответствия , где , и для всех i. Но тогда была бы разрешима проблема соответствий Поста для всех постовских систем соответствия над алфавитом {a,b} (если для некоторого i, то рассматриваемая постовская система соответствия имеет решение, а именно (i) ).
Упражнение 16.4.3. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой
Упражнение 16.4.4. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой
Упражнение 16.4.5. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой
Упражнение 16.4.6. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой
16.5. Проблемы контекстной свободности
Определение 16.5.1. Пусть , , , где и для всех i. Обозначим через язык .
Лемма 16.5.2. Язык является контекстно-свободным при любых и .
Доказательство Утверждение следует из теорем 9.4.4 и 9.4.2.
Лемма 16.5.3. Рассмотрим алфавит . Пусть и , где , и для всех i. Тогда язык является контекстно-свободным в том и только том случае, когда постовская система соответствия не имеет решений.
Доказательство. Пусть - решение постовской системы соответствия , где для всех i. Положим
Легко проверить, что , и язык L0 является автоматным. Очевидно, что Можно доказать (например, используя лемму 9.1.1), что язык не является контекстно-свободным. Согласно теореме 9.6.1 язык также не~является контекстно-свободным.Обратно, если постовская система соответствия не имеет решений, то .
Теорема 16.5.4. Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2 над алфавитом узнать, является ли контекстно-свободным язык .
Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия , где , и для всех i выполняется , и , контекстно-свободную грамматику G1, порождающую язык , и контекстно-свободную грамматику G2, порождающую язык . С учетом леммы 16.5.3 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.
Лемма 16.5.5. Рассмотрим алфавит . Язык является контекстно-свободным при любых и .
Доказательство. Положим . Язык можно представить в виде объединения пяти контекстно-свободных языков
Теорема 16.5.6. Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом узнать, является ли контекстно-свободным язык .
Доказательство. Рассмотрим алфавит . Достаточно построить по постовской системе соответствия , где , и для всех i выполняется , и , контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык . С учетом леммы 16.5.5 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к~неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.
Лемма 16.5.7. Рассмотрим алфавит . Язык является контекстным при любых и .
Теорема 16.5.8. Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстной грамматике G над алфавитом узнать, является ли контекстно-свободным язык L(G).
Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия , где , и для всех i выполняется , и , контекстную грамматику G, порождающую язык .
Упражнение 16.5.9. Является ли контекстно-свободным язык , где язык L порождается грамматикой