НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 17: Алгоритмически неразрешимые проблемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

16.2. Проблема однозначности

Теорема 16.2.1. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли грамматика G однозначной.

Доказательство. Рассмотрим язык $\pcpl{\vec x} \cup \pcpl{\vec y}$ . Следуя доказательству теоремы 9.4.3, построим грамматику G для этого языка, исходя из грамматик $G(\vec x)$ и $G(\vec y)$ .

Грамматика G является неоднозначной тогда и только тогда, когда постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ имеет решение.

Упражнение 16.2.2. Однозначна ли контекстно-свободная грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; Q , & R \; & {\to} \; ba R bba , \\ S \; & {\to} \; R , & R \; & {\to} \; baa R a , \\ Q \; & {\to} \; ba Q b , & R \; & {\to} \; ba c bba , \\ Q \; & {\to} \; baa Q abbaa , & R \; & {\to} \; baa c a ? \\ Q \; & {\to} \; ba c b , \\ Q \; & {\to} \; baa c abbaa , \end{align*}$

16.3. Дополнение контекстно-свободного языка

Лемма 16.3.1. Рассмотрим алфавит $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ . Язык $\Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec x}$ является контекстно-свободным при любом $\vec x$ .

Пример 16.3.2. Пусть $\vec x = ( b , abbaa )$ . Тогда язык $\Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec x}$ над алфавитом $\Sigma_3 = \{ a , b ,c \}$ порождается контекстно-свободной грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; \varepsilon , & R \; & {\to} \; \varepsilon , & T_1 \; & {\to} \; U_b , \\ S \; & {\to} \; A W , & R \; & {\to} \; B W , & T_2 \; & {\to} \; U_a bbaa , \\ S \; & {\to} \; b R , & R \; & {\to} \; aaa W , & T_2 \; & {\to} \; U_b baa , \\ A \; & {\to} \; a , & R \; & {\to} \; a , & T_2 \; & {\to} \; U_b aa , \\ A \; & {\to} \; c , & R \; & {\to} \; aa , & T_2 \; & {\to} \; U_a a , \\ B \; & {\to} \; b , & R \; & {\to} \; ab R b , & T_2 \; & {\to} \; U_a , \\ B \; & {\to} \; c , & R \; & {\to} \; aab R abbaa , & U_a \; & {\to} \; W B , \\ Z \; & {\to} \; a , & R \; & {\to} \; ac Z W b , & U_a \; & {\to} \; \varepsilon , \\ Z \; & {\to} \; B , & R \; & {\to} \; aac Z W abbaa , & U_b \; & {\to} \; W A , \\ W \; & {\to} \; Z W , & R \; & {\to} \; a B T_1 , & U_b \; & {\to} \; \varepsilon . \\ W \; & {\to} \; \varepsilon , & R \; & {\to} \; aa B T_2 , \end{align*}$

Заметим, что $\{ w \in \Sigma_3 ^* \mid T_i \overstar{\Rightarrow} w \} = \Sigma_3 ^* \sminus ( \Sigma_3 ^* \cdot \{ x_i \} )$ для каждого i.

Язык $\Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec x}$ является даже линейным (чтобы получить линейную грамматику, достаточно "раскрыть" вспомогательные символы A, B и Z ).

Замечание 16.3.3. Лемму 16.3.1 можно доказать, явно построив контекстно-свободную грамматику (как в примере 16.3.2), а можно и вывести из теоремы 12.2.7}, проверив, что $\pcpl{\vec x}$ - детерминированный контекстно-свободный язык.

Определение 16.3.4. Пусть $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ , $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ , где $x_i \in \{ a , b \}^*$ и $y_i \in \{ a , b \}^*$ для всех i. Обозначим через $\pcpm{\vec x , \vec y}$ язык $\Sigma_3 ^* \sminus (\pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y})$ .

Лемма 16.3.5. Язык $\pcpm{\vec x , \vec y}$ является контекстно-свободным при любых $\vec x$ и $\vec y$ .

Доказательство. $\pcpm{\vec x , \vec y} = (\Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec x}) \cup (\Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec y})$ .

Лемма 16.3.6. Дополнение языка $\pcpm{\vec x , \vec y}$ является непустым тогда и только тогда, когда постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ имеет решение.

Доказательство Утверждение следует из леммы 16.1.2.

Теорема 16.3.7. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, верно ли, что $L(G) = \Sigma ^*$ .

Доказательство Очевидно, что $L(G) = \Sigma ^*$ тогда и только тогда, когда дополнение языка L(G) является пустым.

Теорема 16.3.8. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G₁ и G₂ над алфавитом $\Sigma$ узнать, верно ли, что L(G₁) = L(G₂).

Доказательство Утверждение следует из предыдущей теоремы и примера 1.5.16.

Теорема 16.3.9. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G₁ и G₂ над алфавитом $\Sigma$ узнать, верно ли, что $L(G_1) \subseteq L(G_2)$ .

Доказательство Очевидно, что $\Sigma ^* \subseteq L(G)$ тогда и только тогда, когда $L(G) = \Sigma ^*$ .

Лемма 16.3.10. Дополнение языка $\pcpm{\vec x , \vec y}$ является бесконечным тогда и только тогда, когда постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ имеет решение.

Теорема 16.3.11. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли бесконечным множество $\Sigma ^* \sminus L(G)$ .

Упражнение 16.3.12. Рассмотрим язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; F , & F \; & {\to} \; \varepsilon , & T \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; T , & F \; & {\to} \; a J , & T \; & {\to} \; b T , \\ & & F \; & {\to} \; b F , & T \; & {\to} \; T b , \\ & & J \; & {\to} \; a F , & T \; & {\to} \; T a T . \\ & & J \; & {\to} \; b J , \end{align*}$

Содержит ли этот язык все слова из {a,b}^*?

Упражнение 16.3.13. Рассмотрим язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; F , & T \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; T , & T \; & {\to} \; b T , \\ F \; & {\to} \; aa F , & T \; & {\to} \; T b , \\ F \; & {\to} \; b F , & T \; & {\to} \; T a T . \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

{a,b}^*?

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Алгоритмически неразрешимые проблемы

16.2. Проблема однозначности

16.3. Дополнение контекстно-свободного языка

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Алгоритмически неразрешимые проблемы

16.2. Проблема однозначности

16.3. Дополнение контекстно-свободного языка

Вопросы и ответы

Студенты