НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 3: Конечные автоматы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

2.4. Характеризация праволинейных языков

Теорема 2.4.1. Каждый автоматный язык является праволинейным.

Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , где $Q \cap \Sigma = \varnothing$ и I = {q₀}. Положим N = Q, S = q₀ и

$P = \{ p \to x q \mid \langle p , x , q \rangle \in \Delta \} \cup \{ p \to \varepsilon \mid p \in F \} .$

Пример 2.4.2. Язык, распознаваемый конечным автоматом из примера 2.1.2, порождается грамматикой

$\begin{align*} K_1 \; & {\to} \; aaa K_1 , \\ K_1 \; & {\to} \; ab K_2 , \\ K_1 \; & {\to} \; b K_2 , \\ K_2 \; & {\to} \; K_1 , \\ K_2 \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

Теорема 2.4.3. Каждый праволинейный язык является автоматным.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан праволинейной грамматикой, не содержащей правил вида $A \to u$ , где $u \in \Sigma ^+$ . Положим Q = N, I = {S}, $F = \{ A \in N \mid ( A \to \varepsilon ) \in P \}$ и $\Delta = \{ \langle A , u , B \rangle \mid ( A \to u B ) \in P \}$ .

Пример 2.4.4. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим грамматику

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aa , \\ S \; & {\to} \; T , \\ T \; & {\to} \; baT , \\ T \; & {\to} \; a . \end{align*}$

Она эквивалентна грамматике

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aaE , \\ S \; & {\to} \; T , \\ T \; & {\to} \; baT , \\ T \; & {\to} \; aE , \\ E \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

Язык, порождаемый этими грамматиками, распознается конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , где Q = {S,T,E}, I = {S}, F = {E} и

$\Delta = \{ \langle S , aa , E \rangle ,\ \langle S , \varepsilon , T \rangle ,\ \langle T , ba , T \rangle ,\ \langle T , a , E \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{S} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" ^{\varepsilon} \ar "2,2" _{aa} & *=[o][F-]{T} \rloop{0,1} ^{ba} \ar "2,2" ^{a} \\ % & *=[o][F=]{E} }$

Упражнение 2.4.5. Найти праволинейную грамматику, порождающую язык $\{ w \in \{a,b\}^* \mid | w |_a \ \vdots \ 2 ,\ | w |_b\ \vdots \ 2\}$

Упражнение 2.4.6. Существует ли такая праволинейная грамматика G, что язык L(G)^R не порождается ни одной праволинейной грамматикой, имеющей столько же правил, сколько грамматика G?

Упражнение 2.4.7. Существует ли такая праволинейная грамматика G, что язык L(G)^R не порождается ни одной праволинейной грамматикой с количеством правил n + 1, где n - количество правил в грамматике G?

Упражнение 2.4.8. Существует ли такая праволинейная грамматика G с тремя вспомогательными символами, что язык L(G)^R не порождается ни одной праволинейной грамматикой с тремя вспомогательными символами?

2.5.Нормальная форма праволинейных грамматик

Определение 2.5.1. Праволинейная грамматика в нормальной форме ( автоматная грамматика, регулярная грамматика, finite-state grammar) - это праволинейная грамматика, в которой каждое правило имеет вид $A \to \varepsilon$ , $A \to a$ , или $A \to a B$ , где $A \in N$ , $B \in N$ , $a \in \Sigma$ .

Теорема 2.5.2. Каждая праволинейная грамматика эквивалентна некоторой праволинейной грамматике в нормальной форме.

Доказательство. Применим последовательно теорему 2.4.3, лемму 2.3.3 и воспользуемся конструкцией из доказательства теоремы 2.4.1.

Теорема 2.5.3. Если праволинейный язык не содержит пустого слова, то он порождается некоторой праволинейной грамматикой в нормальной форме без $\varepsilon$ -правил.