Логические основы

Конъюнкция

Возьмем 2 высказывания:

А=<Москва – столица РФ>
В=<дважды два - четыре>

тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение ' 1 ', а ложному - ' 0 ', то сложное высказывание можно назвать произведением.

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Читается X₁ ИЛИ X₂: Некоторое отличие от смысла союза "или", принятого в русском языке: в данном случае этот союз употребляется в смысле объединения, а не разъединения.

Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например,

А=<дважды два - пять>
B=<один плюс два - шесть>
А~В равнозначны.

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X₁ – истинно, а X₂ – ложно.

Читается: если X₁, то X₂. При этом X₁ – посылка, X₂ – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным:

<если Киев – столица Франции>,
то <2-квадрат 3>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция:

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

x v x   = 1

– постоянно истинное высказывание.

- (переместительный) коммуникативный закон.

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

правило приведения подобных членов:

- постоянно ложное высказывание

- постоянно ложное высказывание

Сложение по mod 2

– при нечетном числе членов, 0 - при четном числе членов

Правило де Моргана

Докажем для двух переменных с помощью таблицы истинности:

Х1	Х2		X1 & X2
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

Операция поглощения:

или в общем виде

Операция полного склеивания:

Операция неполного склеивания: