НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 11: Машины Тьюринга

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Вычислимость и разрешимость

Упорядоченный набор из слов в алфавите называется -местным набором над . Множество всех -местных наборов над обозначим через $(A^\ast)^n$ . Любое подмножество множества $(A^\ast)^n$ называется -местным словарным отношением.

Любое, возможно частичное, отображение $f: (A^\ast)^n \to A^\ast$ называется -местной словарной функцией. Область определения функции обозначается через ${\rm Def}(f)$ .

Результатом работы программы на входном псевдослове называется псевдослово T(x) , которое появляется на ленте в момент остановки программы; если программа работает бесконечно, то результат не определен.

Программу, которая в процессе работы над любым псевдословом не сдвигает головку левее пробела, расположенного слева от -го слова псевдослова , будем называть -программой.

Словарное -местное отношение называется полуразрешимым, если существует -программа , которая останавливается в точности на всех псевдословах, имеющих вид

$\eq*{ X \ast u_n \ast u_{n-1} \ast \ldots \ast u_1 \ovs{\ast }{\downarrow}, }$

где $(u_1, u_2 \dts u_n) \in R$ .

Словарное -местное отношение называется разрешимым, если и $\ol{R}$ полуразрешимы (под $\ol{R}$ здесь понимается множество $(A^\ast)^n\backslash R)$ .

Словарная -местная функция $f:(A^\ast)^n \to A^\ast$ называется вычислимой по Тьюрингу, если существует программа такая, что

$\eq*{ T(\ast u_1 \ast u_2 \ast \ldots \ast u_n \ovs{\ast}{\downarrow}) = \ast u_1 \ast u_2 \ast \ldots \ast u_n \ast v\ovs{\ast}{\downarrow}, }$

где $(u_1, u_2\dts u_n) \in {\rm Def}(f)$ и $v = f(u_1, u_2\dts u_n)$ , в противном случае результат не определен.

Вычислимые по Тьюрингу функции уместно было бы назвать полувычислимыми, а полувычислимые с разрешимой областью определения — вычислимыми, но это противоречит установившимся традициям.

Вычисление числовых функций

Чтобы вычислять значения числовых функций с помощью тьюринговых программ, необходимо выбрать способ кодирования на ленте аргументов и значений функции. Мы рассматриваем функции из N^n в , где — множество натуральных чисел, включая , а $n \ge 1$ .

Значения функции и ее аргументов будем записывать в бинарном, унарном или каком-либо ином коде, для чего нам потребуется, соответственно, алфавит $A = \{1\}$ , $A = \{0, 1\}$ и т.д. Значения аргументов перед вычислением должны быть представлены на ленте в виде псевдослова

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{n-1}\ast \ldots \ast x_1 \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

где

— код

-го аргумента $(i = 1, 2\dts n)$ .

После вычисления содержимое ленты должно иметь вид

$\eq*{ \ast x_n \ast x_{n-1}\ast \ldots \ast x_1 \ast y \ovs{\ast}{\downarrow}, }$

где

— код значения функции при заданных значениях аргумента.

Упражнения

Составить программу, перерабатывающую псевдослово $\ast u \ovs{\ast}{\downarrow}$ в псевдослово $\ast u \ast v \ovs{\ast}{\downarrow}$ , где — бинарный, а — унарный код некоторого числа из .
Составить программу сложения и умножения чисел в унарном и бинарном кодах.
Составить программу для удвоения числа в бинарном и унарном кодах.
Составить программу деления нацело натуральных чисел в унарном коде.

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Машины Тьюринга

Вычислимость и разрешимость

Вычисление числовых функций

Вопросы и ответы