НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 7: Биномиальные и фибоначчиевы кучи

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Ключевые слова: биномиальное дерево, дерево, Биномиальный лес, биномиальное дерево, Биномиальная куча, односвязный список, Поиск элемента с минимальным ключом., Слияние двух очередей., Вставка нового элемента., Удаление минимального элемента., Уменьшение ключа., Удаление элемента., операции, стоимость, алгоритм, граф, плотный граф, константы, Строение фибоначчиевой кучи., куча, циклический список, поле, значение, доступ, потенциал, максимальная степень, анализ, Операция удаления элемента, Паросочетание, DELETE, структура данных

Биномиальные кучи

Для каждого $k = 0, 1, 2, \ldots$ биномиальное дерево B_k определяется следующим образом: B_0 — дерево, состоящее из одного узла высоты ; далее при $k = 1, 2, \ldots$ дерево B_k высоты формируется из двух деревьев $B_{k-1}$ , при этом корень одного из них становится потомком корня другого. На рис. 7.1 изображены биномиальные деревья B_0, B_1, B_2, B_3, B_4 .

Биномиальный лес — это набор биномиальных деревьев, в котором любые два дерева имеют разные высоты.

Рис. 7.1.

Свойства биномиальных деревьев

Дерево состоит из корня с присоединенными к нему корнями поддеревьев $B_{k-1}\dts B_1, B_0$ в указанном порядке.
Дерево имеет высоту .
Дерево имеет ровно узлов.
В дереве на глубине имеется ровно узлов.
В дереве корень имеет степень , остальные узлы имеют меньшую степень.
Для каждого натурального числа n существует биномиальный лес, в котором количество узлов равно .
Максимальная степень вершины в биномиальном лесе с узлами равна $\log_2 n$ .
Биномиальный лес содержит не более $\lfloor \log_2 n\rfloor$ биномиальных поддеревьев.

Чтобы убедиться в существовании биномиального леса из узлов, представим в двоичной системе счисления (разложим по степеням двойки) $n = a_0 2^0 + a_1 2^1 + \ldots +a_s 2^s$ , где $a_k \in \{0, 1\}$ . Для каждого $k = 0, 1, 2 \dts s$ , такого, что a_k = 1 , в искомый лес включаем дерево B_k .

Биномиальная куча — это набор биномиальных деревьев, узлам которых приписаны элементы взвешенного множества в соответствии с кучеобразным порядком, при котором вес элемента, приписанного узлу, не превосходит весов элементов, приписанных его потомкам.

Поскольку количество детей у узлов варьируется в широких пределах, ссылка на детей осуществляется через левого ребенка, а остальные дети образуют односвязный список. Каждый узел в биномиальной куче представляется набором полей

$\eq*{ [{\rm key}, {\rm parent}, {\rm child}, {\rm sibling}, {\rm degree}], }$

где ${\rm key}$ — ключ (вес) элемента, приписанного узлу, ${\rm parent}$ — родитель узла, ${\rm child}$ — левый ребенок узла, ${\rm sibling}$ — правый брат узла, ${\rm degree}$ — степень узла.

Доступ к куче осуществляется ссылкой на самое левое поддерево. Корни деревьев, из которых составлена куча, оказываются организованными с помощью поля ${\rm sibling}$ в так называемый корневой односвязный список.

Поиск элемента с минимальным ключом. Поскольку искомый элемент находится в корне одного из деревьев кучи, элемент с минимальным ключом находится путем просмотра корневого списка за время $O(\log n)$ .

Слияние двух очередей. Две очереди H_1 и H_2 объединяются в одну очередь следующим образом. Последовательно выбираются деревья из исходных очередей в порядке возрастания их высот и вставляются в результирующую очередь , вначале пустую.

Если дерево B_i очередной высоты присутствует лишь в одной из исходных очередей, то перемещаем его в результирующую очередь. Если оно присутствует в одной из исходных очередей и уже есть в результирующей очереди, то объединяем эти деревья в одно $B_{i+1}$ , которое вставляем в . Если B_i присутствует во всех трех очередях, то сливаем два из них в $B_{i+1}$ и вставляем в , а третье дерево B_i просто перемещаем в . Трудоемкость — $O(\log n)$ .

Вставка нового элемента. Создается одноэлементная очередь из вставляемого элемента, которая объединяется с исходной очередью. Трудоемкость — $O(\log n)$ .

Удаление минимального элемента. Сначала в исходной куче производится поиск дерева B_k , имеющего корень с минимальным ключом. Найденное дерево удаляется из , его прикорневые поддеревья $B_{k-1}\dts B_1, B_0$ включаются в новую очередь H_1 , которая объединяется с исходной очередью . Трудоемкость — $O(\log n)$ .

Уменьшение ключа. Осуществляется с помощью всплытия. Трудоемкость — $O(\log n)$ .

Удаление элемента. Уменьшается ключ удаляемого элемента до $-\fy$ , применяется всплытие, всплывший элемент удаляется как минимальный. Трудоемкость — $O(\log n)$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Биномиальные и фибоначчиевы кучи

Биномиальные кучи

Свойства биномиальных деревьев

Вопросы и ответы