Толстые кучи

Рассматриваемое в этой лекции представление приоритетной очереди основано на использовании так называемых избыточных счетчиков, позволяющих за время O(1) инкрементировать любой разряд. Заметим, что использованные здесь счетчики — лишь один из способов реализации толстых куч. На самом деле, для их реализации подойдет произвольный d-арный счетчик, при условии, что трудоемкость инкрементирования любого его разряда является константной.

Избыточное представление чисел

Основные определения. Избыточным -арным представлением неотрицательного целого числа будем считать последовательность , , такую, что

Заметим, что избыточное представление отличается от обычного -арного представления использованием "лишней" цифры , что приводит к неоднозначности представления чисел. Например, при число может быть представлено как и как .

В примерах, в которых , "цифру" 10 будем обозначать символом .

Назовем -арное избыточное представление числа регулярным, если в нем между любыми двумя цифрами, равными , найдется цифра, отличная от .

Пример. Пусть , а число представляется в обычной десятичной системе последовательностью , тогда представления и не являются регулярными -арными избыточными представлениями числа , а представления и регулярны.

Пусть — номер разряда, отличного от и ближайшего слева от -го разряда в регулярном -арном избыточном представлении .

Определим следующим образом: , если , и ; — произвольное число , если и ; — не определено, если .

Величину будем называть прямым указателем. Пусть — -арное регулярное представление некоторого числа.

Фиксацией цифры b, стоящей в i-м разряде представления d, назовем операцию, заключающуюся в обнулении цифры и инкрементировании цифры , при этом если , то полагаем . При каждом выполнении операции фиксации будем обновлять значение . Очевидно, при операцию можно выполнить с помощью следующих операторов.

Инкрементирование i-й цифры избыточного представления d можно выполнить с помощью операторов

Очевидно, что инкрементирование -го разряда регулярного -арного избыточного представления числа производит представление числа .

Нетрудно доказать, что операции фиксации и инкрементирования, примененные к регулярному избыточному представлению, не нарушают регулярности и корректно вычисляют указатели с трудоемкостью .

Эта схема может быть расширена для выполнения за константное время декрементирования произвольной цифры добавлением дополнительного цифрового значения . Оставляем детали в качестве упражнения.

Толстые деревья

Основные определения

Определяем толстое дерево ранга следующим образом:

• Толстое дерево ранга ноль состоит из единственного узла.
• Толстое дерево ранга , для , состоит из трех деревьев ранга , связанных так, что корни двух из них являются самыми левыми потомками корня третьего.

Ранг узла в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле .

На рис. 9.1 приведены примеры толстых деревьев.

Рис. 9.1.

Свойства толстых деревьев:

1. В толстом дереве ранга ровно узлов.
2. Для любого натурального числа существует лес из толстых деревьев, в котором ровно узлов. Такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга , каково значение -го разряда представления числа в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления.
3. Толстый лес из узлов содержит деревьев.

Доказательства этих свойств оставим читателю в качестве упражнения. Рассмотрим лес из нескольких толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны и узлам которых взаимно однозначно поставлены в соответствие элементы взвешенного множества. Такой лес будем называть нагруженным. Узел в нагруженном лесе назовем неправильным, если его ключ меньше ключа его родителя. Нагруженный лес назовем почти кучеобразным, если для каждого значения в нем имеется не более двух неправильных узлов ранга .