НОУ ИНТУИТ | Эконометрика. Лекция 2: Выборочные исследования

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.12.2009 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

Биномиальная модель выборки. Она применяется для описания ответов на закрытые вопросы, имеющие две подсказки, например, "да" и "нет". Конечно, пары подсказок могут быть иными. Например, "согласен" и "не согласен". Или при опросе потребителей кондитерских товаров первая подсказка может иметь такой вид: "Больше люблю "Марс", чем "Сникерс". А вторая тогда такова: "Больше люблю "Сникерс", чем "Марс".

Пусть объем выборки равен . Тогда ответы опрашиваемых можно представить как $X_1 , X_2 , \dots ,X_n$ , где X_i = 1 , если -й респондент выбрал первую подсказку, и X_i = 0 , если -й респондент выбрал вторую подсказку, $i=1,2, \dots ,n$ . В вероятностной модели предполагается, что случайные величины $X_1 , X_2 , \dots ,X_n$ независимы и одинаково распределены. Поскольку эти случайные величины принимают два значения, то ситуация описывается одним параметром - долей выбирающих первую подсказку во всей генеральной совокупности. Тогда

$Р(X_i = 1) = р, Р(X_i = 0)= 1-р, i=1,2, \dots ,n.$

Пусть $m = X_1 + X_2 +\dots+X_n$ . Оценкой вероятности является частота р*=m/n . При этом математическое ожидание М(р*) и дисперсия D(p*) имеют вид

По Закону Больших Чисел (ЗБЧ) теории вероятностей (в данном случае - про теореме Бернулли) частота сходится (т.е. безгранично приближается) к вероятности при росте объема выборки. Это и означает, что оценивание проводится тем точнее, чем больше объем выборки. Точность оценивания можно указать. Займемся этим.

По теореме Муавра-Лапласа теории вероятностей

$\lim_{n \to \infty} P\{\frac{m-np}{\sqrt{np(1-p)} } \le x\}=Ф(x)$

где Ф(x) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,

$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{y^2}{2}}dy$

где $\pi = 3,1415925 \dots$ -отношение длины окружности к ее диаметру, $e= 2,718281828 \dots$ - основание натуральных логарифмов. График плотности стандартного нормального распределения

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$

очень точно изображен на германской денежной банкноте в 10 немецких марок. Эта банкнота посвящена великому немецкому математику Карлу Гауссу (1777-1855), среди основных работ которого есть относящиеся к нормальному распределению. В настоящее время нет необходимости вычислять функцию стандартного нормального распределения и ее плотность по приведенным выше формулам, поскольку давно составлены подробные таблицы (см., например, [3]), а распространенные программные продукты содержат алгоритмы нахождения этих функций.

С помощью теоремы Муавра-Лапласа могут быть построены доверительные интервалы для неизвестной эконометрику вероятности. Сначала заметим, что из этой теоремы непосредственно следует, что

$\lim_{n \to \infty} P\{-x \le \frac{m-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le\ x}=Ф(x)-Ф(-x)$

Поскольку функция стандартного нормального распределения симметрична относительно , т.е. Ф(x)+ Ф(-x)=1 то Ф(x) - Ф(-x)=2Ф(x)-1

Зададим доверительную вероятность $\gamma$ . Пусть $U(\gamma)$ удовлетворяет условию

$Ф(U(\gamma))-Ф(-U(\gamma))=\gamma$

т.е.

$U(\gamma)=Ф^{-1}(\frac{1+\gamma}{2})$

Из последнего предельного соотношения следует, что

$\lim_{n \to \infty} P\{p*-U(\gamma) \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \le p \le p*+U(\gamma) \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\}=\gamma$

К сожалению, это соотношение нельзя непосредственно использовать для доверительного оценивания, поскольку верхняя и нижняя границы зависят от неизвестной вероятности. Однако с помощью метода наследования сходимости [4, п.2.4] можно доказать, что

$\lim_{n \to \infty} P\{p*-U(\gamma) \frac{\sqrt{p*(1-p*)}}{\sqrt n} \le p \le p*+U(\gamma) \frac{\sqrt{p*(1-p*)}}{\sqrt n}\}=\gamma$

Следовательно, нижняя доверительная граница имеет вид

$p_{нижн}=p*-U(\gamma) \frac{\sqrt{p*(1-p*)}}{\sqrt n}$

в то время как верхняя доверительная граница такова:

$p_{верх}=p*+U(\gamma) \frac{\sqrt{p*(1-p*)}}{\sqrt n}$

Наиболее распространенным (в прикладных исследованиях) значением доверительной вероятности является $\gamma=0.95$ Иногда употребляют термин "95% доверительный интервал". Тогда $U(\gamma)=1.96$

Пример. Пусть n=500, m=200 . Тогда p* =0,40 . Найдем доверительный интервал для $\gamma=0.95$

$p_{нижн}=0.40-1.96 \frac{\sqrt{0.4 \times 0.6}}{\sqrt{500}}=0.40-0.043=0.357\\ P_{верх}=0.40+0.043=0.443$

Таким образом, хотя в достаточно большой выборке 40% респондентов говорят "да", можно утверждать лишь, что во всей генеральной совокупности таких от 35,7% до 44,3% - крайние значения отличаются на 8,6%.

Замечание. С достаточной для практики точностью можно заменить 1,96 на 2.

Удобные для использования в практической работе маркетолога и социолога таблицы точности оценивания разработаны во ВЦИОМ (Всероссийском центре по изучению общественного мнения). Приведем здесь несколько модифицированный вариант одной из них.

Таблица 2.5. Допустимая величина ошибки выборки (в процентах)
Объем группы Доля	1000	750	600	400	200	100
Около 10% или 90%	2	3	3	4	5	7
Около 20% или 80%	3	4	4	5	7	9
Около 30% или 70%	4	4	4	6	9	10
Около 40% или 60%	4	4	5	6	8	11
Около 50%	4	4	5	6	8	11

В условиях рассмотренного выше примера надо взять вторую снизу строку. Объема выборки 500 нет в таблице, но есть объемы 400 и 600, которым соответствуют ошибки в 6% и 5% соответственно. Следовательно, в условиях примера целесообразно оценить ошибку как $((5+6)/2)% = 5,5\%$ . Эта величина несколько больше, чем рассчитанная выше (4,3%). С чем связано это различие? Дело в том, что таблица ВЦИОМ связана не с доверительной вероятностью $\gamma=0.95$ а с доверительной вероятностью $\gamma=0.99$ которой соответствует множитель $U(\gamma)=2.58$ .Расчет ошибки по приведенным выше формулам дает 5,65%, что практически совпадает со значением, найденным по табл.2.5.

Минимальный из обычно используемых объемов выборки n в маркетинговых или социологических исследованиях - 100, максимальный - до 5000 (обычно в исследованиях, охватывающих ряд регионов страны, т.е. фактически разбивающихся на ряд отдельных исследований - как в ряде исследований ВЦИОМ). По данным Института социологии Российской академии наук [5], среднее число анкет в социологическом исследовании не превышает 700. Поскольку стоимость исследования растет по крайней мере как линейная функция объема выборки, а точность повышается как квадратный корень из этого объема, то верхняя граница объема выборки определяется обычно из экономических соображений. Объемы пилотных исследований (т.е. проводящихся впервые, предварительно или как первые в сериях подобных) обычно ниже, чем объемы исследований по обкатанной программе.

Нижняя граница определяется тем, что в минимальной по численности анализируемой подгруппе должно быть несколько десятков человек (не менее 30), поскольку по ответам попавших в эту подгруппу необходимо сделать обоснованные заключения о предпочтениях соответствующей подгруппы в совокупности всех потребителей растворимого кофе. Учитывая деление опрашиваемых на продавцов и покупателей, на мужчин и женщин, на четыре градации по возрасту и восемь - по роду занятий, наличие 5 - 6 подсказок во многих вопросах, приходим к выводу о том, что в рассматриваемом проекте объем выборки должен быть не менее 400 - 500. Вместе с тем существенное превышение этого объема нецелесообразно, поскольку исследование является пилотным.

Поэтому объем выборки был выбран равным 500. Анализ полученных результатов (см. ниже) позволяет утверждать, что в соответствии с целями исследования выборку следует считать репрезентативной.

Дальше >>

Эконометрика

Выборочные исследования

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Эконометрика

Выборочные исследования

Вопросы и ответы

Студенты