Система с потерями и В-формула Эрланга

Характеристики нагрузки Пуассоновского распределения

С точки зрения измерения нагрузки, система с бесконечным числом линий не очень интересна. Просмотрим важные характеристики нагрузки системы с потерями.

Потери по времени \[ E=0 \]

Потери по вызовам \[ B=0 \]

Обслуженная нагрузка \[ Y=\sum_{i=0}^{\infty}i*p(i)=A \] ,

Потерянная нагрузка \[ A_l=A-Y=0 \] ,

Потери по нагрузке \[ C=0 \]

Нагрузка, которая обслужена \[ i \] -той линией, принимающей последовательную нагрузку, дается позже в (7.14).

Пиковость Z определяется как отношение между дисперсией и средней величиной распределения вероятностей состояния.

Для Пуассоновского распределения мы находим (6.17) и (6.18):

\[ Z=\frac{\sigma^2}{m_1}=1 \]

Пиковость имеет размерность [число каналов] и отличается от коэффициента вариации, который не имеет никакого измерения (3.9).

Продолжительность состояния [i]

В состоянии \[ [i] \] процесс имеет полную интенсивность \[ (\lambda + I \mu) \] . Поэтому время до первого перехода (переход из состояния \[ i \] либо к \[ i+1 \] , либо к \[ i-1 \] ) - распределено по экспоненте (секция 4.1.1):

\[ f_i(t)=(\lambda + i \mu)e^{-(\lambda + I \mu)t}, t \ge 0. \]

Пример 7.2.1: Протокол простая АЛОХАа

В примере 6.2.2 мы рассматривали протокол синхронная (сегментированная) АЛОХАа, где оси времени были разделены на слоты времени. Мы теперь рассматриваем тот же самый протокол в непрерывное время. Предположим, что пакеты прибывают согласно Пуассоновскому процессу и что они имеют постоянную длину \[ h \] . Система соответствует случаю нагрузки, заканчивающемуся Пуассоновским распределением, которое также является справедливым для постоянных времен занятия (секция 7.2). Вероятности состояния отображаются Пуассоновским распределением (7.6), где \[ A = \lambda h \] . Пакет передается правильно, если: (а) система находится в состоянии [0] во время прибытия и (б) никакие другие пакеты не поступают в течение времени обслуживания \[ h \] . Мы находим:

\[ P_{correct} =р(0)-е^{-\lambda h}=е^{-2A}. \]

Переданная правильно нагрузка, таким образом, получается:

\[ A_{correct}=A*p_{rcorrect}=A*e^{-2A}. \]

Это - соотношение оси времени, при эффективном использовании оно имеет оптимум для \[ h = А = 1/2 \] , где производная относительно \[ А \] равняется нулю:

\[ \frac{\partial A_{correct}}{\partial A}=e^{-2A}*(1-2A),\\ max\{A_{correct}\}=\frac{1}{2e}=0.1839 \]

Мы, таким образом, получаем, что максимальное использование равно 0.1839, когда предложение равно 0.5 Эрл. Это - половина значения, которое мы получили для системы, использующей слоты в синхронных спутниковых передатчиках. Сравнение различных моделей АЛОХА уже было сделано на рис.6.4.

Усеченное Пуассоновское распределение

Мы рассматриваем вариант, когда Чистая Случайная Нагрузка I (PCT-I) такая же, как в секции 7.2. Число каналов теперь ограничено и я конечно. Число состояния становится \[ n+1 \] , диаграмма Чистая Случайная Нагрузка I при переходе состояний показана на рис.7.2.

Диаграмма переходов состояний схематически изображает систему с ограниченным числом каналов \[ (n) \] , Пуассоновский поток вызовов \[ (\lambda) \] и экспоненциальное время обслуживания \[ (\mu) \] )

Вероятности состояния

Мы получаем уравнения сечения, как и в случае Пуассоновского процесса, но пространство состояний ограничено \[ \{0, 1, \dots , п) \] и условие нормализации (7.5) теперь равно:

\[ p(0)=\left \{ \sum_{j=0}^n \frac{A^j}{j!} \right\}^{-1} \]

Мы получаем так называемое усеченное Пуассоновское распределение (первая формула Эрланга):

\[ p(i)=\frac{\frac{A^i}{i!}}{\sum_{j=0}^n \frac{A^j}{j!}}, 0 \le i \le n. \]

Название усеченное означает "укороченное" вследствие того, что решение может интерпретироваться как усеченное Пуассоновское распределение \[ p(i)=p(i|I < n) \] . Это легко увидеть, умножая числитель и знаменатель на \[ e^{-A} \] .

Характеристики нагрузки В-формулы Эрланга

Зная вероятности состояния, мы можем найти критерии качества работы, определяемые этими вероятностями состояния.

Потери по времени

Вероятность, что все \[ п \] каналов заняты в случайный момент времени, равна отношению всего времени работы ко времени занятости всех каналов (математическое ожидание времени). Это видно из (7.9) для \[ i=n \] :

\[ E_n(A)=p(n)=\frac{\frac{A^n}{n!}}{1+A+\frac{A^2}{2!}+\dots +\frac{A^n}{n!}}. \]

Это - известная В-формула Эрланга (1917, [11]). Она обозначается \[ Е_n (А) = Е_{1,п} (А) \] , где указатель "1" рассматривается как указатель названия первая формула Эрланга.

Потери по вызовам

Вероятность, что случайный вызов будет потерян, равна отношению всех попыток вызовов к числу блокированных попыток вызова. Если мы рассматриваем единицу времени, то находим \[ В = В_n (А) \] :

\[ B=\frac{\lambda * p(n)}{\sum_{v=0}^n} \lambda * p(v)=p(n)=E_n(A) \]

Обслуженная нагрузка

Если мы используем усеченное уравнение между состоянием \[ [i-1] \] , и \[ [i] \] , то получим:

\[ Y=\sum_{i=1}^n i*p(i)=\sum_{i=1}^n \frac{\lambda}{\mu}*p(i-1)=A*\{1-p(n)\},\\ Y=A*\{1-E_n(A)\}, \]

где А - предложенная нагрузка. Обслуженная нагрузка будет меньше и чем А, и чем п.

Потери по нагрузке

\[ A_l=A- Y=A-E_nA).\\ C=\frac{A-Y}{A}=E_n(A). \]

Мы, таким образом, имеем Е=В=С, потому что интенсивность вызова не зависит от состояния. Это свойство - PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages - Пуассоновское поступление вызовов, наблюдаемое за среднее время) - справедливо для всех систем с Пуассоновскими потоками вызовов. Во всех других вариантах, по крайней мере, два из трех случаев потерь различны. В-формула Эрланга показана графически на рис. 7.3 для некоторых выбранных значений параметров.

Нагрузка, которую обслуживает i -ый канал (использование \[ а_{ij} \] )

1. Случайный поиск. В этом случае все каналы в среднем обслуживают одну и ту же нагрузку. Полная обслуженная нагрузка не зависит от стратегии поиска, и мы можем найти использование:

   

   
   Рис. 7.3.

   Вероятность блокировки \[ Е_n(А) \] как функция предложенной нагрузки для различных значений числа каналов - \[ п \] (7.9)

   \[ a_i=a=\frac Yn=\frac{A\{1-E_n(A)\}}{n} \]

   Эта функция показана на рис. 7.4, и мы наблюдаем, что в данном случае при потерях Е получается самое высокое использование для больших групп канала (экономия из-за масштаба).

   

   
   Рис. 7.4. Среднее удельное использование а (7.13) как функция числа каналов n для заданных значений потерь Е

2. Обусловленный поиск - последовательный поиск: нагрузка, которую обслуживает канал, есть разность между нагрузкой, потерянной i-1 каналами, и нагрузкой, потерянной i каналами:

   \[ a_i=A*\{E_{i-1}(A)-E_i(A)\}. \]

   Отметим, что нагрузка, которую обслуживает канал i, не зависит от общего числа каналов. Таким образом, каналы после i -того канала не влияют на нагрузку, обслуживаемую каналом i, т.е. между каналами нет никакой обратной связи.

Функция увеличения

Она обозначает увеличение обслуженной нагрузки, когда число каналов увеличено на один от n до n + 1:

\[ F_n(A)=Y_{n+1}-Y_n,\\ \qquad=A\{1-E_{n+1}\}-A\{1-E_n\}, \] \[ F_n(A)=A\{E_n(A)-E_{n+1}(A)\}\\ \qquad=a_{n+1}. \]

Мы имеем \[ 0 \le F_n(A) \le 1 \] ..

Функция увеличения Fn (А) сведена в таблицу (Арн Дженсен, 1950 [50]) и показана на рис.7.5. В секции 7.6.2 мы рассматриваем приложение этого принципа для оптимального экономичного измерения нагрузки.

Пиковость

Она определяется как отношение между дисперсией и средней величиной распределения числа занятых каналов, сравните с IDC (Индексрассеяния для расчетов - Index of Dispersion for Counts) (5.11). Для усеченного Пуассоновского распределения, используя (7.14), можно показать

\[ Z=\frac{\sigma^2}{m}=1-A\{E_{n-1}(A)-E_n(A)\}=1-a_n, \]

Размерность - [число каналов]. В группе с обусловленным поиском мы можем таким образом оценить пиковость нагрузки, которую обслуживает последний канал.

Функция увеличения \[ F_n (A) \] (7.16) по В формуле Эрланга. \[ F_n (А) \] при последовательном поиске равна нагрузке \[ а_{п+1} \] , при увеличении числа канала \[ (n + 1) \]

Продолжительность состояния [i]

Полная интенсивность для перехода из состояния \[ [i] \] постоянна и равна \[ (\lambda + i \mu) \] , и поэтому продолжительность времени в состоянии \[ [i] \] (время пребывания) экспоненциально распределена с функцией плотности:

\[ f_i(t)=(\lambda + I \mu)*e^{-(\lambda + i \mu)t}, 0 \le I < n,\\ f_n(t)=(n \mu)* e^{-(n \mu)t}, i=n \]