|
Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей. |
Инспектор
Вы можете этот курс.
Опубликован: 20.04.2011 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 11:
Многомерные системы с потерями
Аннотация: В этой лекции мы обобщаем классическую теорию телетрафика на решение задач в мультисервисных системах (например, цифровые сети интегрального обслуживания ISDN и B ISDN ). Каждый класс услуг соответствует потоку нагрузки. Несколько потоков нагрузки предлагаются одной и той же группе пучков каналов.
В секции 10.1 мы рассматриваем классическую многомерную B-формулу потерь Эрланга. Это пример обратимого марковского процесса, который мы рассмотрим более детально в секции 10.2. В секции 10.3 мы проанализируем большее количество общих систем с потерями и стратегий, включая сервисную защиту (максимальное распределение каналов между сервисами) и мультислотовую нагрузку ( BPP ). Все модели имеют так называемую мультипликативную форму (форму произведения - product form ), и их числовая оценка очень упрощается при использовании алгоритма свертки для систем с потерями, реализованных специальной программой (секция 10.4). В секции 10.5 будут приведены другие алгоритмы для решения этой проблемы.
Все модели, которые мы рассматриваем, основаны на гибком распределении каналов/слотов. Они могут быть обобщены на произвольные сети коммутации каналов с прямой маршрутизацией, где мы вычисляем вероятности блокировки из конца в конец (Лекция 11). Все модели нечувствительны к распределению времени обслуживания, и таким образом они устойчивы для приложений. В конце лекции поговорим о других алгоритмах.
Ключевые слова: PCT, состояние системы, диаграмма, система без потерь, пуассоновское распределение, константы, среднее время, ПО, суперпозиция, распределение времени, вероятность, поток, путь, BPP, Паскаль, основание, класс, PABX, обобщение, алгоритм, Биноминальное распределение, пространство, запись
Многомерная B-формула Эрланга
Мы рассматриваем группу n пучков каналов (каналы, слоты), которым предлагают два независимых PCT-I потока нагрузки: \[ (\lambda_1, \mu_1) \] и \[ (\lambda_2, \mu_3) \] . Предлагаемая нагрузка \[ A_1 =\lambda_1/\mu_1, \] соответственно \[ A_2 = \lambda_2 /\mu_2. \]
Обозначим состояние системы \[ (i, j) \] , где \[ i \] - число вызовов от потока 1, а \[ j \] - число вызовов от потока 2. Выполняются следующие ограничения:
\[ 0 \le i \le n,\\ 0 \le j \le n,\\ 0 \le i+j \le n. \]Диаграмма переходов состояний показана на рис.10.1. Согласно предположению о статистическом равновесии, вероятности состояний могут быть получены решением глобальных уравнений равновесия для каждого узла (уравнения узла), всего \[ (n + 1) (n + 2)/2 \] уравнения.
Рис. 10.1. Двухмерная диаграмма переходов состояний для системы с потерями с n каналами, которым предлагают два PCT- I потока нагрузки.
Это эквивалентно диаграмме переходов состояний для системы с потерями \[ M/H_2 /n \] , где гиперэкспоненциальное распределение \[ H_2 \] дается в (10.7)
Как мы увидим в следующей секции, эта диаграмма соответствует обратимому марковскому процессу, который имеет локальное равновесие и, кроме того, решение имеет форму произведения ( product form ). Мы можем легко показать, что глобальные уравнения равновесия удовлетворяют следующим вероятностям состояния, которые могут быть записаны в форме произведения:
\[ p(i,j)=p(i)*p(j),\\ =Q*\frac{A_i^1}{i!}*\frac{A_2^j}{j!}, \]где \[ p (i) \] и \[ p (j) \] - одномерные усеченные Пуассоновские распределения, Q - нормировочные константы, и \[ (i, j) \] выполняют вышеупомянутые ограничения (10.1). Поскольку рассматриваются Пуассоновские потоки вызовов, которые обладают свойством PASTA (Пуассоновское поступление вызовов, наблюдаемое за среднее время), потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке равны между собой для обоих потоков нагрузки, и они равняются \[ P (i + j = n) \] .
Биноминальным разложением или сверткой двух Пуассоновских распределений мы находим следующие объединенные вероятности состояний, где \[ Q \] получено нормализацией:
\[ p(i+j=x)=Q*\frac{(A_1+A_2)^x}{x!}, \] \[ Q^{-1}=\sum_{v=0}^n\frac{(A_1+A_2)^v}{v!}. \]Это усеченное Пуассоновское распределение (7.9) с предложенной нагрузкой:
\[ A=A_1+A_2 \]Мы можем также интерпретировать эту модель как систему Эрланга с потерями с одним Пуассоновским потоком вызовов и гиперраспределенными временами пребывания в системе следующим образом. Полный процесс поступления вызовов - суперпозиция двух Пуассоновских процессов с полной интенсивностью поступления:
\[ \lambda=\lambda_1+\lambda_2, \]и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:
\[ f(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}*\mu_1*e^{-\mu_1t}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}*\mu_2*e^{-\mu_2t}. \]Мы присваиваем веса эти двум экспоненциальным распределениям согласно относительному числу вызовов в единицу времени. Среднее время обслуживания и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:
\[ m_1=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}*\frac{1}{\mu_1}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1 +\lambda_2}*\frac{1}{\mu_2}=\frac{A_1+A_2}{\lambda_1+ \lambda_2},\\ m_1=\frac{A}{\lambda} \]и соответствует предложенной нагрузке.
Таким образом, мы показали, что система с потерями Эрланга справедлива для гиперраспределенных времен пребывания в системе.
Можно обобщить вышеупомянутую модель на \[ N \] потоков нагрузки:
\[ p(i_1, i_2, \dots, i_N)=Q*\frac{A_1^{i_1}}{i_1!}*\frac{A_2^{i_2}}{i_2!} \dots \frac{A_N^{i_N}}{i_N!}, 0 \le i_j \le n, \sum_{j=1}^Ni_j \le n, \]Данная модель является общей многомерной B-формулой Эрланга. Обобщая (10.3), мы замечаем, что глобальные вероятности состояния могут быть вычислены следующей рекурсией, где q(x) обозначает вероятность относительного состояния, и \[ p(x) \] - абсолютные вероятности состояния:
\[ q(x)=\frac 1x \sum_{j=1}^N A_j*q(x-1), q(0)=1, \] \[ Q(n)=\sum_{i=0}^n q(i),\\ p(x)=\frac{q(x)}{Q(n)}, 0 \le x \le n. \]Если использовать рекурсию с нормированием (секция 7.4), то мы получаем рекурсивную формулу B- Эрланга. Формула (10.10) подобна уравнениям равновесия для Пуассоновского случая, когда:
\[ A=\sum_{j=1}^NA_j \]Потери по времени - \[ E = p(n) \] , и в соответствии со свойствами потока PASTA, потери по времени также равны потерям по вызовам и по нагрузке. Числовые оценки мы рассмотрим в секции 10.4. Многомерные системы были сначала упомянуты Эрлангом и более тщательно рассмотрены Иенсоном в Erlangbook (Jensen, 1948 ).
