НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования. Лекция 15: Криптосистемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 71 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Криптография эллиптической кривой, моделирующая криптосистему Эль-Гамаля

Для шифрования и дешифрования текстов, с помощью эллиптических кривых использовались несколько методов. Один из них состоит в том, чтобы моделировать криптосистему Эль-Гамаля, используя эллиптическую кривую в GF(p) или GF(2ⁿ), как это показано на рис. 15.7.

Рис. 15.7. Криптосистема Эль-Гамаля, использующая эллиптическую функцию

Генерация общедоступных и частных ключей

Боб выбирает E (a,b) с эллиптической кривой в GF(p) или GF(2ⁿ).
Боб выбирает точку на кривой, e₁ (x₁, y₁ ).
Боб выбирает целое число d.
Боб вычисляет ${e_2}({x_2},{y_{\text{2}}}) = d \times {e_1}({x_1},{y_1})$ . Обратите внимание: умножение здесь означает, что многократное сложение и определяется как раньше.
Боб объявляет E (a,b), e₁ (x₁, y₁ ) и e₂ (x₂, y₂) как свой открытый ключ доступа; он сохраняет d как секретный ключ.

Шифрование

Алиса выбирает P, точку на кривой, как ее исходный текст, P. Затем она вычисляет пару точек, направляет как зашифрованный текст:

Читатель может задаться вопросом, как произвольным исходным

C₁ = r x e₁             C₂ = P + r x e₂

Текстом может быть точка на эллиптической кривой. Это одна из основных проблем в применении эллиптической кривой для моделирования. Алиса должна использовать алгоритм, чтобы найти непосредственное соответствие между символами (или блоками текста) и точками на кривой.

Дешифрование

Боб, после получения C₁ и C₂, вычисляет P, исходный текст, используя следующую формулу:

P = C₂ – (d x C₁)   Знак "минус" здесь означает сложение с инверсией.

Мы можем доказать, что P, вычисленный Бобом, — тот же, что передан Алисой, как это показано ниже:

$P + r \times {e_2}-(d \times r \times {e_1}) = = P + (r \times d \times {e_1})-(r \times d \times {e_1}) = = P + 0 = = P$

P, C ₁, C₂ и e₂ — это точки на кривой. Обратите внимание, что результат сложения двух обратных точек на кривой — нулевая точка.

Пример 15.11

Вот очень тривиальный пример шифровки с использованием эллиптической кривой в GF (p).

Боб выбирает E₆₇ (2, 3) как эллиптическую кривую в GF (p).
Боб выбирает e₁ = (2, 22) и d = 4.
Боб вычисляет e₂ = (13, 45), где ${e_2} = d \times {e_1}$ .
Боб публично объявляет кортеж (E, e₁, e₂).
Алиса хочет передать исходный текст P = (24, 26) Бобу. Она выбирает r = 2.
Алиса находит точку C₁= (35, 1), где ${C_1} = r \times {e_1}$ .
Алиса находит точку C₂ = (21, 44), где ${C_2} = P \times {e_1}$ .
Боб получает C, и C₂. Он использует $2 \times {C_1}$ , (35, 1) и получает (23, 25).
Боб инвертирует точку (23, 25) и получает точку (23, 42).
Боб складывает (23, 42) с C₂ = (21, 44) и получает первоначальный исходный текст P = (24, 26).

Сравнение

Ниже приводится краткое сравнение алгоритма Эль-Гамаля с его вариантом, использующим эллиптическую кривую.

a. Алгоритм Эль-Гамаля использует мультипликативную группу; вариант — эллиптическую группу.

b. Эти два члена в алгоритме Эль-Гамаля — числа в мультипликативной группе; при применении варианта — точки на эллиптической кривой.

c. Секретный ключ в каждом алгоритме — целое число.

d. Секретные числа, выбираемые Алисой в каждом алгоритме, — целые числа.

e. Возведение в степень в алгоритме Эль-Гамаля заменено умножением точки на константу.

f. Умножение в алгоритме Эль-Гамаля заменено сложением точек.

g. Инверсия в алгоритме Эль-Гамаля — мультипликативная инверсия в мультипликативной группе; инверсия —заменяется аддитивной инверсией точки на кривой.

h. Вычисление обычно легче в эллиптической кривой, потому что умножение проще, чем возведение в степень, сложение проще, чем умножение, и нахождение инверсии намного проще в группе эллиптической кривой, чем в мультипликативной группе.

Безопасность метода с использованием эллептической кривой

Чтобы расшифровать сообщение, Ева должна найти значение r или d.

a. Если Ева знает значение r, она может использовать $P = {C_2}-(r \times {e_2})$ , чтобы найти точку P, относящуюся к исходному тексту. Но для того чтобы найти r, Ева должна решить уравнение ${C_1} = r \times {e_1}$ . Это значит — найти две точки на кривой, C₁ и e₁. Ева должна найти множитель, который создает C₁ начиная с e₁. Эта проблема известна как проблема логарифма эллиптической кривой, единственный известный метод решения этой проблемы — $РО(\rho )$ - алгоритм Поларда, который неосуществим, если задано большое r и p в GF (p) или большое n в GF(2ⁿ).

b. Если Ева знает значение d, она может использовать $P = {C_2} - (d \times {C_1})$ , чтобы найти точку P, относящуюся к исходному тексту. Поскольку ${e_2} = d \times {e_1}$ , это тот же самый тип проблемы, что и в предыдущем пункте. Ева знает значение e₁ и e₂ — она должна найти d.

Безопасность криптосистемы с эллиптической кривой зависит от трудности решения проблемы логарифма эллиптической кривой.

Размер модуля

Для того же самого уровня безопасности (затраты на вычисление) модуль n, может быть меньшим в эллиптической системе (ECC), чем в RSA. Например, ECC в GF(2ⁿ) с n, состоящим из 160 битов, может обеспечить тот же уровень безопасности, как RSA с n 1024 битов.

Дальше >>

Инженерия программного обеспечения

Математика криптографии и теория шифрования