Криптосистемы

Безопасность криптосистемы Эль-Гамаля

Ранее были упомянуты две атаки на криптосистему Эль-Гамаля — атаки, основанные на малом значении модуля, и атаки знания исходного текста.

Атаки малого модуля

Если значение модуля p не является достаточно большим, Ева может использовать некоторые эффективные алгоритмы, чтобы решить проблему дискретного логарифма и найти d или r. Если p мало, Ева может просто найти d = log_e1e₂ mod p и сохранить его, чтобы расшифровать любое сообщение, передаваемое Бобу. Это может быть сделано единожды и работать, пока Боб использует те же самые ключи. Ева может также использовать значение случайного числа r, применяемого Алисой в каждой передаче r = log_e1C₁ mod p. Оба этих случая подчеркивают, что безопасность криптосистемы Эль-Гамаля зависит от решения проблемы дискретного логарифма с очень большим модулем. Поэтому рекомендовано, что p должны быть по крайней мере 1024 бита ( 300 десятичных цифр).

Атака знания исходного текста

Когда Алиса использует одно и то же значение случайного показателя степени r для того, чтобы зашифровать два исходных текста P и P', Ева обнаруживает P', если она знает P. Предположим, что и . Ева находит P', используя следующие шаги:

1. .
2. .

Поэтому рекомендовано, чтобы Алиса брала при каждой передаче новое значение r, чтобы сорвать атаки.

Пример 15.4

Вот более реальный пример. Боб использует случайное целое число длиной 512 битов (идеально — 1024 ) и целое число p длиной 155 цифр (идеал — 300 цифр). Боб выбирает e₁ и d, затем вычисляет e₂, как показано ниже; Боб объявляет (e₁, e₂, p) как свой открытый ключ и d как секретный ключ доступа.

p = 1153489927256167624492531371701433174049009453260983495981434692
19056898698622645932129754737871895144368891765264730936159299937
28061165964347353440008577
___________________________________________________________________
e1= 2
___________________________________________________________________
d = 1007
___________________________________________________________________
e2 = 9788641304300918950876685693809773904388006288733768761002206223
32554507074156189212318317704610141673360150884132940857248537703
1582066010072558707455

Алиса имеет исходный текст P = 3200, чтобы передать Бобу. Она выбирает r = 545131, вычисляет C₁ и C₂ и передает их Бобу.

P = 3200
r = 545131
_____________________________________________________________________
C1 = 8872970693835284710225704714922756631202600672565621250181883514
29417223599712681114105363661705173051581533189165400973736355080
295736788569060619152881
_____________________________________________________________________
C2 = 7084543330489299445770160123807949995674360218361924469617745069
2124469615516580077945559308034588961440240859952591957920972162
88796813505827795664302950

Боб вычисляет исходный текст

P = 3200

Приложение

Криптосистема Эль-Гамаля может использоваться всякий раз, когда может использоваться RSA. Она применяется для замены ключей, установления подлинности, шифрования и дешифрования маленьких сообщений.