НОУ ИНТУИТ | Теория и практика параллельных вычислений. Лекция 9: Параллельные методы сортировки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 28.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 23 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.5.4. Сортировка с использованием регулярного набора образцов

9.5.4.1. Организация параллельных вычислений

Алгоритм сортировки с использованием регулярного набора образцов ( the parallel sorting by regular sampling ) также является обобщением метода быстрой сортировки (см., например, в [ [ 63 ] ]).

Упорядочивание данных в соответствии с данным вариантом алгоритма быстрой сортировки осуществляется в ходе выполнения следующих четырех этапов:

на первом этапе сортировки производится упорядочивание имеющихся на процессорах блоков. Данная операция может быть выполнена каждым процессором независимо друг от друга при помощи обычного алгоритма быстрой сортировки ; далее каждый процессор формирует набор из элементов своих блоков с индексами 0, m, 2m, ...,(p-1)m, где m=n/p² ;
на втором этапе выполнения алгоритма все сформированные на процессорах наборы данных собираются на одном из процессоров системы и объединяются в ходе последовательного слияния в одно упорядоченное множество. Далее из полученного множества значений из элементов с индексами
$p+\lfloor p/2\rfloor -1, \; 2p+\lfloor p/2\rfloor -1, \; \dots , \; (p-1)p+\lfloor p/2\rfloor$
формируется новый набор ведущих элементов, который передается всем используемым процессорам. В завершение этапа каждый процессор выполняет разделение своего блока на p частей с использованием полученного набора ведущих значений;
на третьем этапе сортировки каждый процессор осуществляет рассылку выделенных ранее частей своего блока всем остальным процессорам системы; рассылка выполняется в соответствии с порядком нумерации – часть j, 0<=j<p, каждого блока пересылается процессору с номером j ;
на четвертом этапе выполнения алгоритма каждый процессор выполняет слияние p полученных частей в один отсортированный блок.

По завершении четвертого этапа исходный набор данных становится отсортированным.

На рис. 9.11 приведен пример сортировки массива данных с помощью алгоритма, описанного выше. Следует отметить, что число процессоров для данного алгоритма может быть произвольным, в данном примере оно равно 3.

Рис. 9.11. Пример работы алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов

9.5.4.2. Анализ эффективности

Оценим трудоемкость рассмотренного параллельного метода. Пусть, как и ранее, n есть количество сортируемых данных, p, p<n, обозначает число используемых процессоров и, соответственно, n/p есть размер блоков данных на процессорах.

В течение первого этапа алгоритма каждый процессор сортирует свой блок данных с помощью быстрой сортировки, тем самым, длительность выполняемых при этом операций равна

$T_p^1=(n/p)\log_2(n/p)\tau,$

( 9.13)

где $\tau$ есть время выполнения базовой операции сортировки.

На втором этапе алгоритма один из процессоров собирает наборы из p элементов со всех остальных процессоров, выполняет слияние всех полученных данных (общее количество элементов составляет p² ), формирует набор из p-1 ведущих элементов и рассылает полученный набор всем остальным процессорам. С учетом всех перечисленных действий общая длительность второго этапа составляет

$T_p^2=[\alpha\log_2p+wp(p-1)/ \beta]+ [p^2\log_2p\tau]+[p\tau]+ [\log_2p(\alpha+wp/ \beta)]$

( 9.14)

(в приведенном соотношении выделенные подвыражения соответствуют четырем перечисленным действиям алгоритма); здесь, как и ранее, $\alpha$ – латентность, $\beta$ – пропускная способность сети передачи данных, а w есть размер элемента упорядочиваемых данных в байтах.

В ходе выполнения третьего этапа алгоритма каждый процессор разделяет свои элементы относительно ведущих элементов на p частей (общее количество операций для этого может быть ограничено величиной n/p ). Далее все процессоры выполняют рассылку сформированных частей блоков между собой – оценка трудоемкости такой коммуникационной операции рассмотрена в "Оценка коммуникационной трудоемкости параллельных алгоритмов" при представлении топологии вычислительной сети в виде гиперкуба. Как было показано, выполнение такой операции может быть осуществлено за log₂p шагов, на каждом из которых каждый процессор передает и получает сообщение из (n/p)/2 элементов. Как результат, общая трудоемкость третьего этапа алгоритма может быть оценена как

$T_p^3=(n/p)\tau+\log_2p(\alpha+w(n/2p)/ \beta).$

( 9.15)

На четвертом этапе алгоритма каждый процессор выполняет слияние p отсортированных частей в один объединенный блок. Оценка трудоемкости такой операции уже проводилась при рассмотрении второго этапа, и, тем самым, длительность выполнения процедуры слияния составляет

$T_p^4=(n/p)\log_2p\tau.$

( 9.16)

С учетом всех полученных соотношений общее время выполнения алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов составляет

$\begin{aligned} T_p=&(n/p)\log_2(n/p)\tau+(\alpha\log_2p+wp(p-1)/ \beta)+p^2\log_2p\tau+(n/p)\tau+ \\ &+\log_2p(\alpha+wp/ \beta)+p\tau+\log_2p(\alpha+w(n/2p)/ \beta)+(n/p)\log_2p\tau. \end{aligned}$

( 9.17)

9.5.4.3. Результаты вычислительных экспериментов

Вычислительные эксперименты для оценки эффективности параллельного варианта сортировки с использованием регулярного набора образцов осуществлялись при тех же условиях, что и ранее выполненные (см. п. 9.3.6).

Результаты вычислительных экспериментов даны в табл. 9.10. Эксперименты проводились с использованием двух и четырех процессоров. Время указано в секундах.

Таблица 9.10. Результаты вычислительных экспериментов для параллельного алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов
Количество элементов	Последовательный алгоритм	Параллельный алгоритм
		2 процессора		4 процессора
		Время	Ускорение	Время	Ускорение
10000	0,001422	0,001513	0,939855	0,001166	1,219554
20000	0,002991	0,002307	1,396489	0,002081	1,437290
30000	0,004612	0,003168	1,455808	0,003099	1,488222
40000	0,006297	0,004542	1,386394	0,003819	1,648861
50000	0,008014	0,005503	1,456297	0,004370	1,833867

Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов

Рис. 9.12. Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов

Таблица 9.11. Сравнение экспериментального и теоретического времени выполнения параллельного алгоритма сортировки с использованием регулярного набора образцов
Количество элементов	Параллельный алгоритм
	2 процессора		4 процессора

10000	0,001533	0,001513	0,001762	0,001166
20000	0,002569	0,002307	0,002375	0,002081
30000	0,003645	0,003168	0,003007	0,003099
40000	0,004747	0,004542	0,003652	0,003819
50000	0,005867	0,005503	0,004307	0,004370

Сравнение времени выполнения эксперимента T^*_p и теоретической оценки T_p из (9.17) приведено в таблице 9.11 и на рис. 9.13.

График зависимости экспериментального и теоретического времени проведения эксперимента на четырех процессорах от объема исходных данных

Рис. 9.13. График зависимости экспериментального и теоретического времени проведения эксперимента на четырех процессорах от объема исходных данных

Дальше >>

Программирование1500

Теория и практика параллельных вычислений

Параллельные методы сортировки

9.5.4. Сортировка с использованием регулярного набора образцов

9.5.4.1. Организация параллельных вычислений

9.5.4.2. Анализ эффективности

9.5.4.3. Результаты вычислительных экспериментов

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Программирование1500

Теория и практика параллельных вычислений

Параллельные методы сортировки

9.5.4. Сортировка с использованием регулярного набора образцов

9.5.4.1. Организация параллельных вычислений

9.5.4.2. Анализ эффективности

9.5.4.3. Результаты вычислительных экспериментов

Вопросы и ответы

Студенты