НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 10: Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Сингулярно - возмущенная система — модель двухлампового генератора Фрюгауфа.
Система более высокой размерности, имеющая решение в виде релаксационного цикла, приведена в [9.18] (см. также [9.21]). Она имеет вид:

$\begin{gather*} \varepsilon \dot {x}_1 = - \alpha (y_1 - y_2 ) + \varphi (x_1) - x_2, \\ \varepsilon \dot {x}_2 = \alpha (y_1 - y_2 ) + \varphi (x_2 ) - x_1, \\ \dot {y}_1 = x_1, \\ \dot {y}_2 = x_2 . \end{gather*}$

Здесь $\alpha > 0$ — константа порядка единицы, функция $\varphi (u) = {- \tg(\pi u/2)},$ x₁(0) = x₂(0) = 0, y₁ = 2, y₂ = 0, T_k = 20, $\varepsilon = 10^{- 3}, 10^{- 6}.$
Простейшая модель гликолиза
Простейшая модель гликолиза описывается уравнениями следующего вида [9.21]:

$\begin{gather*} \dot {y}_1 = 1 - y_1 y_2, \\ \dot {y}_2 = \alpha y_2 \left({y_1 - \frac{{1 + \beta }}{{y_2 + \beta }}}\right), \end{gather*}$

предложенными Дж. Хиггинсом. В системе $\beta = 10, \alpha = 100,$ 200, 400, 1000. Начальные условия для системы: y₁(0) = 1, y₂(0) = 0, 001, T_k = 50. Решение этой системы — релаксационные автоколебания (жесткий предельный цикл).
Пример жесткой системы — модель химических реакций Робертсона
Один из первых и самых популярных примеров жесткой системы ОДУ принадлежит Робертсону (1966) и имеет вид, типичный для моделей химической кинетики — в правой части системы стоят полиномы второй степени от концентраций (сравните с орегонатором).

Система Робертсона имеет вид [9.9]

$\begin{gather*} \dot {y}_1 = - 0.04y_1 + 10^4 y_2 y_3, \\ \dot {y}_2 = 0.04y_1 - 10^4 y_2 y_3 - 3 \cdot 10^7 y_2^2, \\ \dot {y}_3 = 3 \cdot 10^7 y_2^2 . \end{gather*}$

Начальные условия для системы таковы: y₁(0) = 1, y₂(0) = 0, y₃(0) = 0. Рассматриваются следующие величины отрезка интегрирования: T_k = 40 (в работе Робертсона рассматривался именно такой отрезок интегрирования), T_k = 100, 1000, ..., 1011. О свойствах задачи см. в [9.9].
Модель дифференциации растительной ткани
Данный пример из [9.9] — типичный случай биохимической модели "умеренной" размерности (современные модели, например, фотосинтеза включают сотни уравнений подобного типа). Хотя данная модель является умеренно жесткой, тем не менее, ее лучше решать с помощью методов, предназначенных для решения ЖС ОДУ.

$\begin{gather*} \dot {y}_1 = - 1.71y_1 + 0.43y_2 + 8.23y_3 + 0.0007, \\ \dot {y}_2 = 1.71y_1 - 8.75y_2, \\ \dot {y}_3 = - 10.03y_3 + 0.43y_4 + 0.035y_5, \\ \dot {y}_4 = 8.32y_2 + 1.71y_3 - 1.12y_4, \\ \dot {y}_5 = - 1.745y_5 + 0.43y_6 + 0.43y_7, \\ \dot {y}_6 = - 280y_6 y_8 + 0.69y_4 + 1.71y_5 - 0.43y_6 + 0.69y_7 , \\ \dot {y}_7 = 280y_6 y_8 - 1.87y_7 , \\ \dot {y}_8 = - \dot {y}_7 . \end{gather*}$

Начальные значения всех переменных системы равны 0, кроме y₁(0) = 1 и y₈(0) = 0.0057. Длина отрезка интегрирования T_k = 421, 8122.
Задача E5
Еще одна модель химической реакции из [9.9], получившая свое название Е5 в более ранних публикациях.

$\begin{gather*} \dot {y}_1 = - {Ay}_1 - {By}_1 y_3, \\ \dot {y}_2 = {Ay}_1 - {MCy}_2 y_3, \\ \dot {y}_3 = {Ay}_1 - {By}_1 y_3 - {MCy}_2 y_3 + {Cy}_4, \\ \dot {y}_4 = {By}_1 y_3 - {Cy}_4 . \end{gather*}$

Начальные условия: $y_1(0) = 1, 76\cdot 10^{- 3},$ а все остальные переменные равны 0. Значения коэффициентов модели следующие: $A = 7, 89 \cdot 10^{- 10}, B = 1, 1\cdot 10^7, C = 1, 13\cdot 10^3, M = 10^6.$ Первоначально задача ставилась на отрезке T_k = 1000, но впоследствии было обнаружено, что она обладает нетривиальными свойствами вплоть до времени T_k = 1013 (подробнее см. [9.9]).

Обратить особое внимание, что в процессе расчетов приходится иметь дело с очень малыми концентрациями реагентов (малы значения y₂, y₃ и y₄ ). Как "подправить" постановку задачи E5?
Уравнение Релея
Уравнение Релея во многом похоже на уравнение Ван - дер - Поля [9.21]. Рассматривается задача вида

$\ddot {x} - \mu (1 - \dot {x}^2 )\dot {x} + x = 0 .$
Решить задачу, записав уравнение Релея в виде системы ОДУ. Начальные условия: $$ x(0) = 0, \dot {x}(0) = 0, 001 $,$ $\mu = 1000,$ T_k = 1000.
Экогенетическая модель
Рассмотрим пример системы уравнений, которая описывает изменения численности популяций двух видов и эволюцию некого генетического признака $\alpha.$ Система ОДУ имеет вид

$\begin{gather*} \dot {x} = x(1 - 0, 5x - \frac{2}{{7\alpha ^2}}y), \\ \dot {y} = y(2\alpha - 3, 5\alpha ^2 x - 0, 5y), \\ \dot {\alpha} = \varepsilon (2 - 7\alpha x) . \end{gather*}$

Параметры задачи таковы: $\varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 3, 0 \le y_0 \le 15, \alpha_0 = 0,$ T_k = 1500. Наличие малого параметра в третьем уравнении системы показывает, что генетический признак меняется медленнее, чем численность популяций. Решение системы — релаксационные колебания.

Задача описана в статье [9.22].
Экогенетическая модель
Еще один пример жесткой системы описан в статье [9.22]. Более интересный случай — численность двух популяций зависит от взаимодействия между ними и двух медленно меняющихся генетических признаков.

$\begin{gather*} \dot {x} = x(2\alpha_1 - 0, 5x - \alpha_1^2 \alpha_2^{- 2}y), \\ \dot {y} = y(2\alpha_2 - \alpha_1^{- 2} \alpha_2^2 x - 0, 5y), \\ \dot {\alpha}_1 = \varepsilon (2 - 2\alpha_1 \alpha_2^{- 2}y), \\ \dot {\alpha}_2 = \varepsilon (2 - 2\alpha_1^{- 2} \alpha_2x) . \end{gather*}$

Параметры задачи таковы: $\varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 40, 0 \le y_0 \le 40, \alpha_{10} = 0, \alpha_{20} = 10,$ T_k = 2000.

Рассмотреть также модификацию предыдущей системы [9.22]:

$\begin{gather*} \dot {x} = x(2\alpha_1 - 0, 5x - \alpha_1^3 \alpha_2^{- 3}y), \\ \dot {y} = y(2\alpha_2 - \alpha_1^{- 3} \alpha_{2 }^3 x - 0, 5y), \\ \dot {\alpha}_1 = \varepsilon (2 - 3\alpha_1^2 \alpha_2^{- 3}y), \\ \dot {\alpha}_2 = \varepsilon (2 - 3\alpha_1^{- 3} \alpha_2^2x) . \end{gather*}$

Параметры задачи: $\varepsilon \le 0, 01, 0 \le x_0 \le 40, 0 \le y_0 \le 40, \alpha_{10} = 0, \alpha_{20} = 10,$ T_k = 2000.