Интерполяция функций

6.7. Многочлены Чебышёва и минимизация остаточного члена интерполяции

Многочленом Чебышева первого рода называется функция T_n(t) = cos (n arccos t), где

Убедимся в том, что функция T_n(t) действительно является многочленом. При n = 0 и n = 1 имеем T₀(t) = 1, T₁(t) = t.

Положив получим По формуле суммы косинусов и справедливо рекуррентное соотношение T_{n + 1}(t) + T_{n - 1}(t) = 2T₁(t)T_n(t), или T_{n + 1}(t) = 2t T_n(t) - T_{n - 1}(t). Отсюда следует вид записи полиномов Чебышева: T₂ = 2t² - 1, T₃(t) = 4t³ - 3t, T₄(t) = 8t⁴ - 8t² + 1 и так далее. Функции T_n(t) являются многочленами степени n со старшим членом 2^{n - 1}tⁿ.

Введем также нормированные многочлены Чебышева

Нули многочлена Чебышева находятся из очевидного уравнения T_n(t) = cos (n arccos t) = 0, откуда

Для произвольного отрезка [a, b] нули полинома Чебышева получаются очевидным линейным преобразованием, выражения для них будут Легко отыскиваются также точки экстремумов полинома Чебышева, для них | T_n(t) | = 1 и на отрезке точки экстремумов есть

Нас интересует решение следующей задачи на минимакс: найти

чтобы путем выбора узлов сетки минимизировать остаточный член интерполяции. Эта задача была решена П.Л.Чебышевым.

Теорема. (Чебышева (без доказательства)) Среди всех многочленов степени со старшим коэффициентом a_n равным единице, наименьшее уклонение от нуля, равное 2^{1 - n}, имеет нормированный полином Чебышева

Это свойство полиномов Чебышева, наименьшее уклонение от нуля, можно сформулировать по - другому: для любого полинома P_n(t) = tⁿ + a_{n - 1}t^{n - 1} + ... + a₀, отличного от справедливо

Если в качестве интерполяционных узлов выбрать нули полинома Чебышева, то произведение а также R_n(t) будут наименее уклоняющимися от нуля.

6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега

В процессе вычислений значения интерполируемой функции известны с некоторой погрешностью. При работе на вычислительной машине ошибки округления неизбежны. Возникает вопрос о чувствительности интерполяционного полинома к ошибкам начальных данных (обусловленности задачи интерполяции ) и к ошибкам округления (вопрос вычислительной устойчивости). Интерполяционный полином — оператор, линейный по отношению к значениям интерполируемой функции. С учетом погрешности начальных данных полином в форме Лагранжа может быть записан следующим образом:

причем слагаемое

характеризует чувствительность к ошибкам начальных данных и ошибкам вычислений. Нас интересует оценка

коэффициент l_N называется постоянной Лебега.

Введем в рассмотрение еще один объект. Пусть - сумма модулей всех базисных функций. Обозначим ее - функция Лебега (сетки). Тогда константа Лебега

Так как функция Лебега зависит лишь от расположения узлов сетки, то и константа Лебега зависит лишь от введенной сетки. Обусловленность и устойчивость задачи интерполяции зависят от константы Лебега.

Если рассматривать оператор интерполяции как оператор проекции (проектор), переводящий элемент одного пространства (пространства сеточных функций) в другое (пространство непрерывно дифференцируемых функций), то постоянная Лебега есть норма такого оператора проекции. Подробнее об этом в [6.7].

Конечно, реальная погрешность при интерполяции будет заведомо меньше, чем приведенная выше оценка. Тем не менее, оценка является достижимой (это свойство нормы оператора). Наихудшим распределением погрешности будет такое распределение, когда погрешности максимальны и меняют знак от точки к точке. То, что при этом будет достижима приведенная выше оценка, следует из вида функции Лебега и каждой из базисных функций. Предлагаем читателям соответствующие построения провести самостоятельно.

Приведем (без доказательства) примерные оценки роста постоянной Лебега в зависимости от числа узлов сетки. Константа Лебега растет примерно как для равномерной сетки и для сетки с чебышевским набором узлов. Доказано, что рост константы Лебега для последней сетки асимптотически стремится к минимально возможному, и сетка с чебышевскими узлами близка к оптимальной для задач интерполяции.