НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 4: Численное решение переопределенных СЛАУ. Метод наименьших квадратов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

Вам нравится? Нравится 55 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.3. Задачи

Для функции $f(x) = \sqrt {x}$ на отрезке [0,1] построить многочлен F(x) = u₀ + u₁x среднеквадратичного приближения со скалярными произведениями:
$(\varphi_i,\varphi_j) = \int\limits_0^1 {x^ix^j}{dx},\quad f,\varphi_i) = \int\limits_0^1 f(x)x^idx.$

Решение. Введем базисные функции $\varphi_0 (x) = 1, \varphi_1 (x) = x,$ и вычислим скалярные произведения

$(\varphi_0,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {1^2 dx} = 1, (\varphi_1,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {x^2 dx =} \frac{1}{3},$

$(\varphi_0,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {xdx}} = \frac{1}{2}, (f,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {\sqrt{1} x dx} = \frac{2}{3},$

$(f,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {\sqrt{x} x dx} = \frac{2}{5},$

Для вычисления коэффициентов получим СЛАУ

$u_0 + \frac{1}{2}u_1 = \frac{2}{3},$

$\frac{1}{2}u_0 + \frac{1} 3u_1 = \frac{2}{5},$

откуда
$u_0 = \frac{4}{{15}}, c_1 = \frac{4}{5}, F(x) = \frac{4}{15} + \frac{4}{5}x.$
Получить СЛАУ
```
c₁₁x + c₁₂y = f₁
c₂₂x + c₂₁y = f₂,
```
если она задана в форме метода наименьших квадратов: $\mathbf{A^*BAu} = \mathbf{A^*Bf},$ где

$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} \end{array} \right), \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \mathbf{u} = {(u_1,u_2)}^T, \mathbf{f} = {(f_1,f_2,f_3)}^T .$

Решить эту систему для случая a₁₁ = a₃₂ = 1, a₂₁ = a₁₂ = 2, a₃₁ = 0, a₂₂ = 1, f₁ = 1, f₂ = 2, f₃ = 1.

Решение. Проведем необходимые вычисления:

$\begin{gather*} \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} & {a_{21}} & {a_{31}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} & {a_{21}} & {a_{31}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {f_1} \\ {f_2} \\ {f_3} \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{cc} {a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2} & {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} \\ {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} & {a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{l} {u_1} \\ {u_2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} {a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3} \\ {a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3} \\ \end{array} \right), \\ (a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2)u_1 + (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32})u_2 = a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3, \\ (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}) u_1 + (a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2)u_2 = a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3. \end{gather*}$

Решение в числах предлагается найти читателям.
С помощью метода наименьших квадратов найти коэффициенты полинома второй степени f(x) = u₀ + u₁x + u₂x², если таблица измерений задана $\left. {\left\{{x_i, f_i}\right\}}\right|_{i = 0}^n .$
Решение. Переопределенная система уравнений:

$u_0 + u_1 x_k + u_2 x_k^2 = f_k, k = 0, 1, \ldots, n,$
определяет функционал

$\Phi (u_0, \ldots, u_n) = \sum\limits_{k = 0}^n{r_k^2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(u_0 + u_1 x_k + u_2 x_k^2 - f_k)}^2.$
Условия минимума последнего

$\frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 0.$

После проведения алгебраических преобразований получим для коэффициентов систему линейных уравнений

$\begin{gather*} u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k}, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k} x_k, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^4}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n{f_k} x_k ^2. \end{gather*}$