НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 10: Числовые характеристики распределений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Другие числовые характеристики распределений

Распределения можно характеризовать и многими другими показателями, большинство из которых находит основное применение в статистике. Здесь мы только кратко познакомимся с их определениями.

Медианой распределения случайной величины $\xi$ называется любое из чисел $\mu$ таких, что

$\Prob(\xi\leq \mu)\geq \frac12, \quad \Prob(\xi\geq\mu)\geq \frac12.$

Медиана распределения всегда существует, но может быть не единственна. Так, у биномиального распределения с параметрами и $\frac12$ медианой будет любое число из отрезка $[1,\,2]$ . Действительно, $\xi$ принимает значения , , и с вероятностями соответственно $\frac{1\vphantom{h}}{8\vphantom{f}}$ , $\frac38$ , $\frac38$ и $\frac18$ . Поэтому для всех $\mu\in[1,\,2]$

$\Prob(\xi\leq \mu)\geq\frac12, \quad \Prob(\xi\geq \mu)\geq\frac12.$

Часто в таких случаях в качестве $\mu$ берут середину "отрезка медиан".

Для распределений с непрерывной и строго монотонной функцией распределения медиана является единственным решением уравнения $F(\mu)=\frac12$ . Это точка, левее и правее которой на числовой прямой сосредоточено ровно по половине всей вероятностной "массы" ( рис. 10.1). Если распределение имеет плотность , то площади каждой из областей под графиком плотности слева и справа от точки $\mu$ одинаковы.

Медиана является одной из квантилей распределения. Пусть для простоты функция распределения непрерывна и строго монотонна. Тогда квантилью уровня $\delta \in(0, 1)$ называется решение уравнения $F(x_\delta)=\delta$ .

Рис. 10.1. Медиана и квантили на графике функции распределения и плотности

Квантиль $x_\delta$ уровня $\delta$ отрезает от области под графиком плотности область с площадью $\delta$ слева от себя, и с площадью $1-\delta$ - справа. Медиана является квантилью уровня $\delta=\frac12$ .

Квантили уровней, кратных 0{,}01 , в прикладной статистике называют процентилями, квантили уровней, кратных 0{,}1 , - децилями, уровней, кратных 0{,}25 , - квартилями.

Модой абсолютно непрерывного распределения называют любую точку локального максимума плотности распределения. Для дискретных распределений модой считают любое значение a_i , вероятность которого больше, чем вероятности соседних значений (соседнего, если таковое одно).

Для нормального распределения ${\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ медиана, математическое ожидание и мода равны . Распределение, обладающее единственной модой, называют унимодальным. Идеальным примером унимодального распределения является нормальное распределение. Плотность произвольного унимодального распределения может быть как более плоской (равномерное распределение), так и более "островершинной" (показательное распределение) по сравнению с плотностью нормального распределения, может быть симметричной либо наклоненной в одну сторону. Для описания таких свойств плотности используют коэффициент эксцесса и коэффициент асимметрии.

Коэффициентом асимметрии распределения с конечным третьим моментом называется число

$\beta_1 = {\mathsf E\,}\Bigl(\!\frac{\xi-a}{\sigma}\!\Bigr)^{\!3},$

где $a={\mathsf E\,}\xi$ , $\sigma=\sqrt{{\mathsf D\,}\xi\mathstrut}$ .

Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю. Если $\beta_1>0$ , то график плотности распределения имеет более крутой наклон слева и более пологий - справа; при $\beta_1<0$ - наоборот.

Коэффициентом эксцесса распределения с конечным четвертым моментом называется число

$\beta_2 = {\mathsf E\,}\Bigl(\!\frac{\xi-a}{\sigma}\!\Bigr)^{\!4}-3.\vphantom{\int_a^b}$

Для всех нормальных распределений коэффициент эксцесса равен нулю. Действительно, для $\xi\sim{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ величина $\eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\vphantom{\sum_1^b}$ имеет стандартное нормальное распределение. Четвертый момент этого распределения равен трем: ${\mathsf E\,}\eta^4=3$ ( вычислить аналогично второму моменту в примере 60 ). Поэтому $\beta_2=0$ .