НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 10: Числовые характеристики распределений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Свойства дисперсии

Свойства дисперсии следуют из соответствующих свойств математического ожидания. Заметим, что из существования второго момента следует существование математического ожидания случайной величины и конечность дисперсии. Во всех свойствах ниже предполагается существование вторых моментов случайных величин.

(D1) Дисперсия может быть вычислена по формуле: ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-{({\mathsf E\,}\xi)}^2$ .

Доказательство. Положим для удобства $a={\mathsf E\,}\xi$ . Тогда

${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}{(\xi-a)^2}= {\mathsf E\,}(\xi^2-2a\xi+a^2)= {\mathsf E\,}\xi^2-2a{\mathsf E\,}\xi+a^2= {\mathsf E\,}\xi^2-a^2.$

(D2) При умножении случайной величины на постоянную дисперсия увеличивается в c^2 раз: ${\mathsf D\,}(c\xi)=c^2\,{\mathsf D\,}\xi$ .

(D3) Дисперсия всегда неотрицательна: ${\mathsf D\,}\xi\ge 0$ . Дисперсия обращается в нуль лишь для вырожденного распределения: если ${\mathsf D\,}\xi = 0$ , то $\xi=const$ п.н. и наоборот.

Доказательство. Дисперсия есть математическое ожидание почти наверное неотрицательной случайной величины $(\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2$ , и неотрицательность дисперсии следует из свойства (E5). Далее, по свойству (E6) из равенства дисперсии нулю вытекает $(\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2=0$ п.н., т.е. $\xi={\mathsf E\,}\xi$ п.н. И наоборот, если $\xi=c$ п.н., то ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}(c-{\mathsf E\,} c)^2=0$ .

(D4) Дисперсия не зависит от сдвига случайной величины на постоянную: ${\mathsf D\,}(\xi+c)={\mathsf D\,}\xi$ .

(D5) Если $\xi$ и $\eta$ независимы, то ${\mathsf D\,}(\xi+\eta)= {\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta$ .

Доказательство. Действительно,

$\begin{multiline*} {\mathsf D\,}(\xi+\eta)={\mathsf E\,}(\xi+\eta)^2-({\mathsf E\,}(\xi+\eta))^2=\;\\ =\,{\mathsf E\,}\xi^2+{\mathsf E\,}\eta^2+ 2{\mathsf E\,}(\xi\eta) - {({\mathsf E\,}\xi)}^2-{({\mathsf E\,}\eta)}^2 -2{\mathsf E\,}\xi{\mathsf E\,}\eta ={\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta, \end{multiline*}$

так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Замечание См. замечание 2.

Следствие 14. Если $\xi$ и $\eta$ независимы, то

${\mathsf D\,}(\xi-\eta)={\mathsf D\,}(\xi+\eta)= {\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta.$

Доказательство. Из свойств (D5) и (D2) получим

${\mathsf D\,}(\xi-\eta)={\mathsf D\,}(\xi+(-\eta))={\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}(-\eta)= {\mathsf D\,}\xi+(-1)^2{\mathsf D\,}\eta={\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta.$

Следствие 15. Для произвольных случайных величин $\xi$ и $\eta$ с конечными вторыми моментами имеет место равенство

${\mathsf D\,}(\xi+\eta)={\mathsf D\,}\xi+{\mathsf D\,}\eta + 2\,\bigl({\mathsf E\,}(\xi\eta)-{\mathsf E\,}\xi\,{\mathsf E\,}\eta\,\bigr).$

(D6) Минимум среднеквадратического отклонения случайной величины $\xi$ от точек числовой прямой есть среднеквадратическое отклонение $\xi$ от ее математического ожидания: ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}(\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2=\min\limits_a {\mathsf E\,}(\xi- a)^2$ .

Доказательство. Сравним величину ${\mathsf E\,}(\xi- a)^2$ с дисперсией:

$\begin{multiline*} {\mathsf E\,}(\xi- a)^2=\smash{{\mathsf E\,}{\bigl( (\xi-{\mathsf E\,}\xi)+({\mathsf E\,}\xi- a)\bigr)}^2}= \\ ={\mathsf D\,}\xi+{\bigl({\mathsf E\,}\xi-a\bigr)}^2 +2 ({\mathsf E\,}\xi-{\mathsf E\,}\xi)\,\bigl({\mathsf E\,}\xi-a\bigr)= {\mathsf D\,}\xi+{\bigl({\mathsf E\,}\xi-a\bigr)}^2\ge {\mathsf D\,}\xi, \end{multiline*}$

и последнее неравенство превращается в равенство лишь при $a={\mathsf E\,}\xi$ .

Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений

Пример 54. (вырожденное распределение $\mathrm I_c$ ) Математическое ожидание и дисперсию этого распределения мы знаем из свойств (E2) и (D3): ${\mathsf E\,} c=c$ , ${\mathsf D\,} c=0$ .

Пример 55 (распределение Бернулли $\mathrm B_p$ ). Вычислим два момента и дисперсию: ${\mathsf E\,}\xi=1\cdot p\,+\,0\cdot q=p;$ ${\mathsf E\,}\xi^2=1^2\cdot p\,+\,0^2\cdot q=p;$ ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-{({\mathsf E\,}\xi)}^2=p-p^2=pq$ .

Пример 56 (биномиальное распределение $\mathrm B_{n,\,p\,}$ ). Используем свойство устойчивости биномиального распределения относительно суммирования - лемму 2. Возьмем на каком-нибудь вероятностном пространстве независимых случайных величин $\xi_1,\,\dots,\,\xi_n$ с распределением Бернулли $\mathrm B_p=\mathrm B_{1,\,p}\mspace{1mu}$ . Тогда их сумма $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$ имеет распределение $\mathrm B_{n,\,p}\mspace{1mu}$ и по свойству (E4) получаем

${\mathsf E\,} S_n=\sum\limits_{i=1}^n{\mathsf E\,}\xi_i=n{\mathsf E\,}\xi_1=np.$

А поскольку $\xi_i$ независимы, и дисперсия каждой равна

, то

${\mathsf D\,} S_n=\sum\limits_{i=1}^n{\mathsf D\,}\xi_i=n{\mathsf D\,}\xi_1=npq.$

Итак, ${\mathsf E\,}\xi=np$ , ${\mathsf D\,}\xi=npq$ для $\xi{\,\sim\,}C_{n,\,p}$ .

Пример 57 (геометрическое распределение $\mathrm G_p$ ). Вычислим математическое ожидание $\xi$ :

${\mathsf E\,}\xi &=&\sum_{k=1}^\infty k\,p\,q^{k-1}= p\,\sum_{k=1}^\infty k\,q^{k-1}= p\,\sum_{k=1}^\infty \frac{dq^k}{dq}\,=\\ &=& p\,\frac{d}{dq}\Biggl(\,\sum_{k=1}^\infty q^k\Biggr) = p\,\frac{d}{dq}\left(\frac{q}{1-q}\right)=p\,\frac{1}{(1-q)^2}= \frac{1}{p}. \qquad$

Вычислим так называемый "второй факториальный момент" $\xi$ :

${\mathsf E\,}\xi(\xi-1) &=& \sum\limits_{k=1}^\infty k(k-1)\,p\,q^{k-1}= p\,q\,\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{d^2q^k}{dq^2}= p\,q\,\frac{d^2}{dq^2}\left(\,\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)= \\ &=& p\,q\,\frac{d^2}{dq^2}\left(\frac{1}{1-q}\right)= p\,q\,\frac{2}{(1-q)^3}=\frac{2q}{p^2}.$

Найдем дисперсию через второй факториальный момент:

$\displaystyle {\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi(\xi-1)+{\mathsf E\,}\xi-({\mathsf E\,}\xi)^2= \frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p} - \frac{1}{p^2}=\frac{2q-1+p}{p^2}=\frac{q}{p^2}.$

Пример 58 (распределение Пуассона $\Pi_\lambda$ ). Вычислим математическое ожидание $\xi$ :

${\mathsf E\,}\xi &=&\sum\limits_{k=0}^\infty k\,\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}= e^{-\lambda}\sum\limits_{k=1}^\infty k\,\frac{\lambda^k}{k!}= e^{-\lambda}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k}{(k-1)!}= \\ &=&\lambda e^{-\lambda}\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}= \lambda e^{-\lambda}\sum\limits_{m=0}^\infty \frac{\lambda^m}{m!}= \lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}=\lambda.$

Моменты более высоких порядков легко находятся через факториальные моменты ${\mathsf E\,}\xi^{[m]}={\mathsf E\,}\xi(\xi-1)\ldots(\xi-m+1)$ порядка

. Так, второй факториальный момент $\xi$ равен

${\mathsf E\,}\xi(\xi-1) =\sum_{k=0}^\infty k(k-1)\,\frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda} =\lambda^2e^{-\lambda}\sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}= \lambda^2e^{-\lambda}e^\lambda=\lambda^2.$

Поэтому ${\mathsf E\,}\xi^2={\mathsf E\,}\xi(\xi-1) +{\mathsf E\,}\xi=\lambda^2+\lambda$ и ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-({\mathsf E\,}\xi)^2=\lambda\vphantom{\int_{\sum_f}}$ .

Пример 59 (равномерное распределение ${\mathrm U}_{a,b}$ ). Математическое ожидание ${\mathsf E\,}\xi=\frac{a+b}{2}$ найдено в примере 49. Вычислим второй момент:

${\mathsf E\,}\xi^2=\int\limits_{-\infty}^\infty x^2 f_\xi(x)\,dx= \int\limits_a^b x^2\,\frac{1}{b-a}\,dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)} =\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$

Дисперсия равна ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-({\mathsf E\,}\xi)^2={(b-a)^2}/\,{12}$ .

Пример 60 (стандартное нормальное распределение ${\mathrm N}_{0,\,1}$ ). Математическое ожидание этого распределения существует, поскольку

${\mathsf E\,}|\xi|=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\infty xe^{-x^2\!/2}\,dx =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\infty e^{-x^2\!/2}\,d(x^2\!/2) =\frac{2}{\sqrt{2\pi}} < \infty.$

Математическое ожидание $\xi$ равно нулю:

${\mathsf E\,}\xi=\int\limits_{-\infty}^\infty x f_\xi(x)\,dx= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\int\limits_{-\infty}^\infty x\,e^{-x^2\!/2}\,dx= 0,$

так как под сходящимся интегралом стоит нечетная функция. Далее,

${\mathsf E\,}\xi^2\!\!&{=\!\!}&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty x^2\,e^{-x^2\!/2}\,dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\,\int\limits_{0}^\infty x^2 \,e^{-x^2\!/2}\,dx=-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\,\int\limits_{0}^\infty x \,de^{-x^2\!/2}= \\ \!\!&{=\!\!}& -\frac{\,2x}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2\!/2}{\bigg|}_0^\infty+ 2\int\limits_0^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2\!/2}\,dx=0+\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2\!/2}\,dx=1.$

Поэтому ${\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-({\mathsf E\,}\xi)^2=1-0=1$ .

Пример 61. (нормальное распределение ${\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ ) Мы знаем, что если $\xi{\,\sim\,}{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ , то $\eta=\frac{\xi-a}\sigma{\,\sim\,}{\mathrm N}_{0,\,1}$ . Математическое ожидание ${\mathsf E\,}\eta=0$ и дисперсия ${\mathsf D\,}\eta=1$ стандартного нормального распределения вычислены выше. Тогда

${\mathsf E\,}\xi={\mathsf E\,}(\sigma\eta+a)=\sigma{\mathsf E\,}\eta+a=a; \quad {\mathsf D\,}\xi={\mathsf D\,}(\sigma\eta+a)=\sigma^2{\mathsf D\,}\eta=\sigma^2.$

Итак, параметры и $\sigma^2$ нормального распределения суть его математическое ожидание и дисперсия.

Пример 62 (показательное распределение ${\mathrm E}_\alpha$ ).

Найдем для произвольного $k\in\mathbb N$ момент порядка $k\text{:}$

${\mathsf E\,}\xi^k=\int\limits_{-\infty}^\infty x^k f_\xi(x)\,dx= \int\limits_{0}^\infty x^k\,\alpha\,e^{-\alpha x}\,dx= \frac{1}{\alpha^k} \int\limits_{0}^\infty (\alpha x)^k\,e^{-\alpha x}\,d(\alpha x)= \frac{k!}{\alpha^k}.$

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера:

$\Gamma(k+1)=\int\limits_{0}^\infty u^k\,e^{-u}\,du=k!$

Из формулы для момента порядка

находим

${\mathsf E\,}\xi=\frac{1}{\alpha}, \quad {\mathsf E\,}\xi^2=\frac{2}{\alpha^2},\quad {\mathsf D\,}\xi={\mathsf E\,}\xi^2-({\mathsf E\,}\xi)^2=\frac{1}{\alpha^2}.$

Пример 63 (стандартное распределение Коши $\mathrm C_{0,\,1}$ ). Математическое ожидание распределения Коши не существует, так как расходится интеграл

${\mathsf E\,}|\xi|=\int\limits_{-\infty}^\infty |x|\,\frac{1}{\pi(1+x^2)}\,dx =\int\limits_0^\infty \frac{1}{\pi(1+x^2)}\,dx^2=\lim_{x\to+\infty}\frac1\pi \ln(1+x^2)=+\infty.$

Расходится он потому, что подынтегральная функция ведет себя на бесконечности как 1/x

. Поэтому не существуют ни дисперсия, ни моменты более высоких порядков этого распределения. То же самое можно сказать про распределение Коши $\mathrm C_{a,\,\sigma}$ .

Пример 64 (распределение Парето).

У распределения Парето существуют только моменты порядка $t<\alpha$ , поскольку