Статистическая обработка данных в системе Mathcad

Цель лекции: Ознакомиться с основными статистическими функциями в системе Mathcad. Уяснить предназначение этих функций. Понять для каких целей применяются данные функции.

Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Широкий интерес к системе Mathcad привел к тому, что в России наконец-то появились книги по отдельным версиям. Система Mathcad была создана в 80-х годах в университете Станфорда (США).

Современные версии для ПК готовит фирма MathSoft Application.

Это универсальный

• Математический интерфейс.
• Есть мощная поддержка графики.
• Возможен импорт графики из других программ.
• Большое количество встроенных математических функций (сотни).
• Встроенные справочники по предметным областям.
• Возможна анимация.
• Символьная математика.

Достоинство – программирование на языке математики.

Недостатки:

• Это интерпретатор.
• Возможности программирования ограничены.

Системы Mathcad пользуются огромной популярностью во всем мире благодаря удобным средствам подготовки документов, имеющих вид обычных статей или книг. В то же время оказывается, что эти средства вполне достаточны для решения подавляющего большинства задач по математике, физики и других направлений науки и техники.

Mathcad является математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений они позволяют решать оформительские задачи. Они позволяют готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты с доступным набором самых сложных математических формул и изысканным графическим представлением результатов.

С самого первого своего появления системы класса Mathcad имели удобный пользовательский интерфейс – совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, кнопок и иных элементов. У этой системы есть эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Словом, системы Mathcad ориентированы на массового пользователя – от ученика начальных классов до академика.

Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов [ 20 ] . Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий NET и XML позволяют легко интегрировать.

Мы рассмотрим наиболее часто применяемые функции для статистических расчетов, которые встроены в программу.

Функция RND(X).

В статистических расчетах при моделировании различных физических процессов широко применяется встроенная функция RND(X), инициализирующая генератор случайных чисел. Здесь задаётся как ранжированная переменная и определяет число случайных чисел. Например, для получения десяти случайных чисел следует задать интервал .

Функции аппроксимации.

Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических расчетов используются зависимости вида , но число точек этих зависимостей ограничено. При этом возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками и за их пределами. Такая задача решается аппроксимацией исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. В системе Mathcad предоставляется возможность аппроксимации двумя типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. То есть, при линейной аппроксимации узловые точки соединяются отрезками прямых линий, для чего используется функция – линейная интерполяция,где , – векторы координат узловых точек, а x – заданный аргумент. При небольшом числе узловых точек линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Даже первая производная функция аппроксимации получается с резкими скачками в узловых точках. Поэтому применяют функцию сплайн-аппраксимации.

При сплайн-аппроксимации исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты этой функции рассчитываются таким образом, чтобы первая и вторая производные были непрерывными. Линия, описывающая сплайн-функцию, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках.

Для осуществления сплайновой аппроксимации в Mathcad существуют четыре специальные встроенные функции:

• – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой
• – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к прямой;
• – возвращает значение для заданных и заданного значения

Таким образом, сплайн-аппроксимация производится в два этапа:

1. Для выбранного способа приближения к узловым точкам вычисляется вектор вторых производных функции , заданной векторами ее значений с помощью одной из функций cspline, pspline или lspline.
2. С помощью функции вычисляется значения для каждой искомой точки.

Функции регрессии.

Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией . Такое представление называется регрессией. Задача регрессии в том чтобы получить параметры функции такими, при которых функция приближает "облако" исходных точек с наименьшей квадратичной погрешностью.

Известны:

1. Линейная регрессия (прямая линия),
2. Полиномиальная регрессия (полином),
3. Линейная регрессия общего вида (линейная сумма произвольных функций),
4. Нелинейная регрессия общего вида (произвольная функция)