НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 5: Поле C комплексных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Геометрическая интерпретация обратного элемента

$z^{-1}>$ для ${z=a+bi\in C}$

Если $0\neq z=a+bi\in C$ , то, как мы видели, zz=N(z)=|z|²=a²+b²,

$z^{-1}=\frac{\bar z}{|z|^2}=\overline{\left(\frac{z}{|z|^2}\right)}.$

Таким образом, геометрическое построение комплексного числа z^-1 можно провести двумя последовательными процедурами:

а) инверсия $z\to z'=\frac{z}{|z|^2}$ относительно окружности единичного радиуса ( $|z'|=\frac{1}{|z|}$ );

б) сопряжение $z'\to \overline{z'}=z^{-1}$ .

Задача 2.8.1. Найти геометрическое множество точек z^-1, где z пробегает прямую $\{1+bi\mid b\in R\}$ .

Упражнение 2.8.2.

Для $w\in C$ , $w\neq 0$ , имеем

$\left|\frac{w}{\bar w}\right|=\frac{|w|}{|\bar w|}=\frac{|w|}{|w|}=1,$

таким образом,

$\frac{w}{\bar w}\in T=\{z\in C\mid |z|=1\}.$

Если $z\in T$ , т. е. |z|=1, $z=\cos\varphi+i\sin\varphi$ , то $z=\frac{w}{\bar w}$ для некоторого $0\neq w\in C$ . Таким образом,

$\left\{\left.z=\frac{1+it}{1-it}\right|t\in R\right\}=T.$

Действительно, если $w=\cos\theta+i\sin\theta$ , то $\bar w\=\cos(-\theta)\+i\sin(-\theta)$ и

$\frac{w}{\bar w}=\cos 2\theta + i\sin 2\theta= \cos\varphi+i\sin\varphi.$

Таким образом, если $2\theta=\varphi$ , т. е. $\theta\=\frac{\varphi}{2}$ , то $w\=\cos\frac{\varphi}{2}\+i\sin\frac{\varphi}{2}$ является одним из решений этой задачи.

Упражнение 2.8.3.

Единичная окружность $T=\{z\in C\mid |z|=1\}$ с операцией умножения является группой (подгруппой мультипликативной группы $( C^*= C\setminus \{0\},{\cdot})$ поля C комплексных чисел).
$\{r\in R\mid r<0\}=\{z\in C\mid\arg z=\pi+2\pi k\}$ .
Найти все $z\in C$ , для которых $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=1$ .
Найти все $z\in C$ , для которых |z+i|+|z-i|=2.
Три различных комплексных числа $z_1,z_2,z_3\in C\in R^2$ лежат на одной прямой в R² тогда и только тогда, когда
$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\in R.$
Четыре различных комплексных числа $z_1,z_2,z_3,z_4\in C= R^2$ , не лежащие на одной прямой в R², лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение является вещественным числом:
$\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}:\frac{z_1-z_4}{z_2-z_4}\in R.$
Рассмотрим отображение инфлексии $C\to C$ ,
$z=x+yi\mapsto y+xi=\underline z,\quad x,y\in R.$

Показать, что:

(a) отображение $z\to\underline z$ является биекцией, при этом $\underline{(z_1+z_2)}=\underline{z_1} + \underline{z_2}$ , $|\underline{z}|=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ ;

(б) $\underline{zw}=\frac{1}{i}\underline z\cdot \underline w$ для $z,w\in C$ ;

(в) $|\underline{zw}|=|\underline z\cdot \underline w|= |\underline{z}|\,|\underline{w}|$ , в частности $|z\underline z|=|z|^2$ для $z\in C$ .

Теорема 2.8.4 (формула Муавра о возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме). Пусть $0\neq z\in C$ , $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , r>0, $n\in Z$ . Тогда

$(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=r^n (\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$

Доказательство. Утверждение теоремы - частный случай теоремы 2.7.1.

Упражнение 2.8.5. Так как для $n\in N$

$(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)=(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n,$

то, выражая правую часть с помощью формулы бинома Ньютона, получаем, приравнивая действительные и мнимые части:

$\begin{align*} & \cos n\varphi = \cos^n \varphi-C_n^2 \cos^{n-2}\varphi\sin^2\varphi+ C_n^4 \cos^{n-4}\varphi\sin^4\varphi-...,\\ & \sin n\varphi = n\cos^{n-1}\varphi\sin\varphi\!-\! C_n^3 \cos^{n-3}\varphi\sin^3\varphi\!+\! C_n^5 \cos^{n-5}\varphi\sin^5\varphi\!-\!.... \end{align*}$

Например:

$\begin{align*} \cos 2\varphi &= \cos^2\varphi-\sin^2\varphi,\\ \cos 3\varphi &= \cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi,\\ \cos 4\varphi &= \cos^4\varphi-6\cos^2\varphi\sin^2\varphi+ \sin^4\varphi,\\ \sin 2\varphi &= 2\cos\varphi\sin\varphi,\\ \sin 3\varphi &= 3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi,\\ \sin 4\varphi &= 4\cos^3\varphi\sin\varphi-4\cos\varphi\sin^3\varphi. \end{align*}$

Упражнение 2.8.6. Если

$u=\cos\varphi+i\sin\varphi,\quad v=\bar u =\cos\varphi-i\sin\varphi,$

то

$\begin{gath} u+v=2\cos\varphi,\quad u-v=2i\sin\varphi,\quad uv=1,\\ u^m=\cos m\varphi+i\sin m\varphi,\\* v^m=(\bar u)^m = \overline{(u^m)}=\cos m\varphi-i\sin m\varphi, \end{gath}% \begin{multl} 2^n\cos^n\varphi=(u+v)^n= \sum_{k=0}^{n}C_n^k u^{n-k}v^k={}\\ {}=(u^n+v^n)+nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})+.... \end{multl}$

Если n=2k, то

$\begin{mul} (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n+v^n)-nuv(u^{n-2}+v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}+v^{n-4})-.... \end{mul}$

Если n=2k+1, то

$\begin{mul} (-1)^{(n-1)/2}i2^n\sin^n\varphi=(u-v)^n={}\\ {}=(u^n-v^n)-nuv(u^{n-2}-v^{n-2})+C_n^2u^2v^2(u^{n-4}-v^{n-4})-.... \end{mul}$

Отсюда: если n=2k, то

$\begin{align*} & 2^n\cos^n\varphi ={} \\* & \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+ C_n^{n/2},\\ & (-1)^{n/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ & \quad {}= 2\cos n\varphi-2n\cos(n-2)\varphi+ 2C_n^2\cos(n-4)\varphi-...+ (-1)^{n/2}C_n^{n/2}; \end{align*}$

если n=2k+1, то

$\begin{align*} & 2^n\cos^n\varphi ={} \\ & \quad {}= 2\cos n\varphi+2n\cos(n-2)\varphi+2C_n^2\cos(n-4)\varphi+...+{} \\ & \quad {}+ 2C_n^{(n-1)/2}\cos\varphi,\\ & (-1)^{(n-1)/2}2^n\sin^n\varphi ={} \\ & \quad {}= 2\sin n\varphi-2n\sin(n-2)\varphi+ 2C_n^2\sin(n-4)\varphi-...+{} \\ & \quad {}+(-1)^{(n-1)/2}2C_n^{(n-1)/2}\sin\varphi. \end{align*}$

Упражнение 2.8.7. Если $u=\cos\varphi+i\sin\varphi$ , $\varphi\neq 2\pi k$ , то

$u+...+u^n=u\frac{u^n-1}{u-1}.$

Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\cos k\varphi &= \frac{\sin \frac{n\varphi}{2}\cos \frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}};\\ \sum_{k=1}^{n}\sin k\varphi &= \frac{\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}}% {\sin\frac{\varphi}{2}}. \end{align*}$

Теорема 2.8.8 (извлечение корней n-й степени из комплексных чисел). Пусть $n \geq 1$ , $0\neq z\in C$ , $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , r>0. Тогда существует ровно n различных корней n -й степени из z )таких $w\in C$ , что wⁿ=z ) :

$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi\!+\!2\pi k}{n}\right),\ k=0,1,2,...,n-1.$

Они все лежат на окружности радиуса $\rho=\sqrt[n]{r}$ , образуя вершины правильного

-угольника с аргументами

$\frac{\varphi}{n}, \frac{\varphi+2\pi}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n},..., \frac{\varphi+2\pi(n-1)}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2\pi}{n}(n-1).$

Доказательство. Будем искать решения w уравнения wⁿ=z в тригонометрической форме:

$w=\rho(\cos\theta+i\sin\theta),\quad\rho>0.$

Тогда по формуле Муавра

$w^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)= r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=z,$

т. е. $\rho^n=r$ , и поэтому $\rho=\sqrt[n]{r}$ , $n\theta=\varphi+2\pi k$ , $k\in Z$ . Различных корней будет ровно n при k=0,1,2,...,n-1:

$w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+ i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,1,2,...,n-1.$

Упражнение 2.8.9. Найдем корни уравнения x²-(2+i)x+(-1+7i)=0 (в алгебраической форме):

$x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm \sqrt{(2+i)^2-4(-1+7i)}}{2}= \frac{(2+i)\pm \sqrt{7-24i}}{2};$

$\sqrt{7-24i}=5\sqrt{\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i}$ , $z=\frac{7}{25}-\frac{24}{25}i=\cos\varphi+i\sin\varphi$ , где $\cos\varphi=\frac{7}{25}$ , $\sin\varphi=-\frac{24}{25}$ , $\sqrt{z}=\pm \left(\cos\frac{\varphi}{2}+i\sin\frac{\varphi}{2}\right)$ . Так как $\sin\varphi<0$ , $\cos\varphi>0$ , то $\frac{3\pi}{2}<\varphi<2\pi$ , и поэтому $\frac{3\pi}{4}<\frac{\varphi}{2}<\pi$ , т. е. $\cos\frac{\varphi}{2}<0$ , $\sin\frac{\varphi}{2}>0$ , следовательно, $\cos\frac{\varphi}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}=-\frac{4}{5}$ , $\sin\frac{\varphi}{2}=+\frac{1-\cos\varphi}{2}=\frac{3}{5}$ , $\sqrt{z}=\pm \left(-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i\right)$ . Итак, $x_{1,2}=\frac{(2+i)\pm (-4+3i)}{2}$ , x₁=-1+2i, x₂=3-i.

Упражнение 2.8.10. Найти все корни третьей степени из $-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ . По формуле из теоремы все три корня из $-1+\sqrt{3}i$ имеют следующий вид:

$\begin{gat} w_0 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}\right);\\ w_1 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9}\right);\quad w_2 = \sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9}\right). \end{gat}$

На рисунке:

Упражнение 2.8.11. Найти все корни четвертой степени из i. Так как $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$ , по формуле из теоремы все четыре корня из i имеют следующий вид:

$\begin{gat} w_0 = \cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8};\quad w_1 = \cos\frac{5\pi}{8}+i\sin\frac{5\pi}{8};\\ w_2 = \cos\frac{9\pi}{8}+i\sin\frac{9\pi}{8};\quad w_3 = \cos\frac{13\pi}{8}+i\sin\frac{13\pi}{8}. \end{gat}$

На рисунке:

Упражнение 2.8.12. Извлеките все корни

$\sqrt[6]{\frac{1-i}{\sqrt{3}+i}}.$

Упражнение 2.8.13. Покажите, что

$\sqrt[4]{-\frac{18}{1+i\sqrt{3}}}= \biggl\{\pm\biggl(\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr), \pm\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i\biggr)\biggr\}.$

Дальше >>

Введение в алгебру

Введение в алгебру

Поле C комплексных чисел

Геометрическая интерпретация обратного элемента

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в алгебру

Введение в алгебру

Поле C комплексных чисел

Геометрическая интерпретация обратного элемента

Вопросы и ответы

Студенты