НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 5: Поле C комплексных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Сопряжение комплексных чисел

Каждому комплексному числу $z=x+iy\in C$ сопоставим комплексное число $\bar z=x-iy\in C$ , называемое комплексно сопряженным. Геометрическая интерпретация перехода от z=a+bi к сопряженному комплексному числу z=a-bi прозрачна: это отражение относительно вещественной оси:

Теорема 2.3.1.

Операция комплексного сопряжения $z\to\bar z$ является автоморфизмом поля C комплексных чисел (т. е. биекцией, для которой $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$ , $\overline{zw}=\bar z\bar w$ для $z,w\in C$ и, как следствие, $\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\bar w}{\mathstrut\bar z}$ для $z\neq 0$ ), оставляющим все действительные числа и только их на месте ( a=a для $a\in R\subseteq C$ ; если z=z, то $z\in R$ ).
Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению ( $\Bar{\Bar z}=z$ ).
Если $z=a+bi\in C$ , $a,b\in R$ , то $z+\bar z=2a\in R$ , $z-\bar z=2bi\in R i$ , $N(z)=z\bar z=a^2+b^2\in R$ , при этом N(wz)=N(w)N(z) для $w,z\in C$ .
Если $f: C\to C$ - такой автоморфизм поля C комплексных чисел, что f(a)=a для всех $a\in R\subseteq C$ , то либо f=1_C, либо $f(z)= \overline z$ для $z\in C$ (тем самым показано, что группа Галуа расширения $R\subset C$ состоит из двух элементов).

Доказательство.

Ясно, что соответствие
$z=a+bi=(a,b)\to\bar z=a-bi=(a,-b)$
является биекцией.
Если z=a+bi, w=c+di, то z+w = (a+b)+(c+d)i=(a+b)-(c+d)i= =(a-ci)+(b-di)=z+w; -z=-a-bi=-a+bi=-(a-bi)=-(z); z-w=z+(-w)=z-w; zw=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)-(ad+bc)i= =(a-bi)(c-di)=zw.

Если $z\neq 0$ , то $1=\overline{z\cdot z^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{z^{-1}}$ , т. е. $\overline{z^{-1}}=(\bar z)^{-1}$ . Поэтому
$\overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\overline{wz^{-1}}= \bar w \overline{(z^{-1})}=\bar w(\bar z)^{-1}=\frac{\bar w}{\bar z}.$

Если $z=a\in R$ , то z=a. Если z=a+bi, то z=z означает, что z=a+bi=a-bi=z, т. е. b=-b, поэтому b=0 и $z=a\in R$ . Итак, z=z тогда и только тогда, когда $z\in R$ .
$\Bar{\Bar z}=\overline{a-bi}=a+bi=z$ .
Если z=a+bi, то
$\begin{align*} z+\bar z &= (a+bi)+(a-bi) = 2a\in R,\\ z-\bar z &= (a+bi)-(a-bi)=2bi\in R i,\\ z\cdot\bar z &= (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\in R. \end{align*}$
Далее,
$N(wz)=wz\overline{wz}=wz\bar w\bar z=w\bar wz\bar z=N(w)N(z).$
Так как i²=-1, то f(i)^2=f(-1)=-1, поэтому
либо f(i)=i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a+bi },

либо f(i)=-i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a-bi

Замечание 2.3.2.

Если комплексное число $\alpha$ получено как выражение из комплексных чисел $\alpha_1,...,\alpha_n$ с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, то то же выражение из комплексных чисел $\bar\alpha_1,...,\bar\alpha_n$ дает $\bar\alpha$ .
Правило деления комплексного числа w=c+di на ненулевое комплексное число $0\neq z=a+bi\in C$ (в алгебраической форме):
$\frac{w}{z}=\frac{c+di}{a+bi}= \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}= \left(\frac{ca+db}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{-cb+da}{a^2+b^2}\right)i.$

Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)

Точка плоскости (a,b), отличная от начала координат (0,0), однозначно задается своими полярными координатами r, $\varphi$ , где r - расстояние от данной точки до начала координат, $\varphi$ - угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (a,b), отсчитываемый против часовой стрелки (определенный с точностью до $2\pi k$ , $k\in Z$ , и называемый аргументом точки (a,b) ).

Аргумент точки 0=(0,0) не определен.

Формулы перехода от декартовых координат a и b точки (a,b) к полярным координатам и обратно:

$\begin{gat} r=\sqrt{a^2+b^2}, \\* \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \\ a=r\cos\varphi,\ \ b=r\sin\varphi. \end{gat}$

Свойства модуля комплексных чисел

Для комплексного числа $z=a+bi\in C$ определим его модуль как

$|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{a^2+b^2}$

(в геометрической интерпретации на плоскости C= R² модуль комплексного числа $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ - это расстояние от точки (0,0) до точки (a,b), т. е. длина вектора z ).

Пример 2.5.1.

Если $z=a\in R$ , то $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ , т. е. функция модуль комплексного числа $|\phantom{a}|: C\to R^+$ является продолжением функции модуль действительного числа $|\phantom{a}|: R\to R^+=\{r\in R,\ r \geq 0\}$ .
|i|=1, $|1+i|=\sqrt{2}$ .
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=|\bar z|$ для $z=a+bi\in C$ .
$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|$ для $z=a+bi\in C$ .

Лемма 2.5.2. |wz|=|w|*|z| для $w,z\in C$ .

Доказательство.

$|wz|=\sqrt{(wz)\overline{(wz)}}=\sqrt{(w\bar w)(z\bar z)}= \sqrt{w\bar w}\sqrt{z\bar z}=|w|\,|z|.$

Другое доказательство этого факта следует из свойств тригонометрической формы.

Следствие 2.5.3.

Если w=z^-1 для $0\neq z\in C$ , то 1=|1|=|z^-1z|=|z^-1|,|z|, поэтому
$|w|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|},\ \ \text{или}\ \ |z^{-1}|=|z|^{-1}.$
Для $w,z\in C$ , $z\neq 0$ :
$\left|\frac{w}{z}\right|=|wz^{-1}|=|w|\,|z^{-1}|= |w|\,|z|^{-1}=\frac{|w|}{|z|}.$

Лемма 2.5.4. $|w+z| \leq |w|+|z|$ для $w,z\in C$ .

Первое доказательство. Длина |w+z| стороны треугольника не превосходит суммы длин |w|+|z| двух других сторон.

Второе доказательство. Если w=0 или z=0, то утверждение очевидно.

Пусть теперь $w\neq 0$ и $z\neq 0$ . Так как для z=a+bi имеем

$|a|=\sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2+b^2}=|z|,$

то

$|1+z|^2=(1+z)(1+\bar z)=1+(z+\bar z)+z\bar z={}\\ {}=1+2a+|z|^2 \leq 1+2|z|+|z|^2=(1+|z|)^2,$

и поэтому, поскольку $|1+z| \geq 0$ , $1+|z| \geq 0$ , $|1+z| \leq 1+|z|$ . Далее,

$\begin{align*} |w+z| &= |w(1+w^{-1}z)|=|w|\cdot |1+w^{-1}z| \leq {} \\ & \leq |w|(1+|w^{-1}z|) = |w|(1+|w^{-1}|\,|z|)={} \\ &=|w|+|ww^{-1}|\,|z|=|w|+|z|. \end{align*}$