НОУ ИНТУИТ | Моделирование, тестирование и диагностика цифровых устройств. Лекция 31: Жадные алгоритмы поиска масок

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.09.2012 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет путей сообщения

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

СПР для единой маски, полученной сокращением СПР с помощью алгоритма1, для диагностического теста схемы C17 приведен в табл. 31.1.

Таблица 31.1.
	11011
	10111
	00011
	00001
	01001
	01011
	01010
	10001
	11111

Уточним верхнюю оценку объема маски, возвращаемой с помощью алгоритма 1. Но вначале сформулируем следующую лемму, которая потребуется для вывода этой оценки.

Лемма 1. На любом шаге работы алгоритма 1 справедливо неравенство

$J_{k+1}\le J_k\left (1 - \cfrac{1}{M}\right),$

( 31.10)

где - объем минимальной маски заданного СПР.

Доказательство. Заметим сначала, что для любой точки проверки i:j и для любого $k\ge 0$ величина (31.9) неотрицательна. Действительно, (31.9) является конкретизацией выражения (31.6) , в котором вместо атрибута используется точка проверки i:j . Подставляя в (31.5) сначала (31.7) и (31.8), а затем (31.1) и (31.2) получим

$J_k-I'_{i:j}(\tilde{S}_k)= \cfrac{1}{|\tilde{S}_k|}\sum\limits_{S'\in\tilde{S}_k}{|S'|\log_2|S'|}-\sum\limits_{S''\in\tilde{S'} }{|S''|\log_2|S''|}$

( 31.11)

где $\tilde{S'}$ обозначает разбиение множества согласно значениям точки проверки i:j . Из того, что каждое слагаемое внешней суммы в (31.11) неотрицательно, следует неотрицательность (31.9). Отсюда вытекает, что последовательность

$J_1-J_0,J_2-J_1,\ldots,J_k-J_{k-1},\ldots$

- невозрастающая.

Пусть после итераций алгоритма 1 получена маска и величина J_k - среднее количество информации, необходимой для идентификации любого технического состояния из блоков разбиения $\tilde{S}_k$ . Пусть для того чтобы разбить блоки $\tilde{S}_k$ на одноэлементные подмножества оптимальным образом, требуется включение в маску дополнительно минимум точек проверки. Тогда на следующей итерации алгоритма должно выполняться неравенство

$J_{k+1}\le J_k\left ( 1-\cfrac{J_k}{M}\right )$

( 31.12)

Т. к. M' < M , из (31.12) следует (31.10).

Теорема 2. Объем маски, полученной с помощью алгоритма 1, не превышает величины

$M\cdot\left ( 1+ln\cfrac{|S|\log_2|S|}{2}\right ),$

где - объем минимальной маски заданного СПР.

Доказательство. Согласно лемме 1

$J_k\le\left (1-\cfrac{1}{M}\right )^k\log_2|S|\le e^{-\cfrac{k}{M}}\log_2|S|$

Исходя из представления (6.7), минимально-возможное ненулевое значение, которое может принимать J_k , равно 2/|S| .

Пусть k_0 - максимальное целое число такое, что

$e^{-\frac{k}{M}}\log_2|S|\ge\cfrac{2}{|S|}$

( 31.13)

Тогда для k_1=k_0+1 будет выполнено $J_{k_1}< 2/|S|$ .Из (6.13) следует

$\cfrac{k_1-1}{M}\le ln\cfrac{|S|\log_2|S|}{2}$

что влечет

$k_1\le 1+M ln\cfrac{|S|\log_2|S|}{2} \le M\left (1+ln\cfrac{|S|\log_2|S|}{2}\right )$

Следствие 1. Объем маски, полученной с помощью алгоритма 1, не превышает величины

$\min\left\{|S|-1,M\cdot\left (1+ln\cfrac{|S|\log_2|S|}{2}\right )\right\}$

где - объем минимальной маски данного СПР.

Справедливость следствия вытекает из теоремы 2 и замечания к алгоритму.

С точки зрения задачи оптимизации маски представляет интерес получение оценки глубины диагностирования с использованием маски, полученной с помощью алгоритма 1 при ограничении ее объема. В качестве оцениваемой величины возьмем значение диагностического разрешения $\rho_3$ , определяемое равенством

$\rho_3=\cfrac{|S|^2-\sum\limits_{S_j}|S_j|^2}{|S|^2-|S|}$

Теорема 3. Пусть для СПР существует оптимальная маска $\tilde{h}$ объема , а $\tilde{\rho}_3$ - величина диагностического разрешения при диагностировании с использованием $СПР_{\tilde{h}}$ . Тогда, если - маска объема , найденная с помощью алгоритма 1, и $\rho_3$ - диагностическое разрешение при диагностировании с помощью СПР_h , то справедливо следующее неравенство

$\rho_3\ge\rho_3\left(1-\cfrac{1}{e}\right ).$

Доказательство. Разбиение $\tilde{S}_k$ на -ой итерации алгоритма можно интерпретировать как множество СПН, получаемое при диагностировании с помощью СПР_h , где - маска, полученная после итераций алгоритма. Обозначим через $\rho_3(\tilde{S}_k)$ значение диагностического разрешения при диагностировании с помощью этого .

Очевидно, что последовательность

$\rho_3(\tilde{S}_0), \rho_3(\tilde{S}_1),\ldots, \rho_3(\tilde{S}_k),\ldots$

неубывающая. Действительно, на каждой последующей итерации алгоритма $S_{k+1}$ получается из S_k разбиением одного или нескольких блоков на более мелкие блоки. Диагностическое разрешение (отношение количества различимых пар состояний к общему числу пар состояний) от этого может только увеличиться.

Более того, можно легко показать, что последовательность

$\rho_3(\tilde{S}_1)- \rho_3(\tilde{S}_0), \rho_3(\tilde{S}_2)- \rho_3(\tilde{S}_1),\ldots, \rho_3(\tilde{S}_{k+1})- \rho_3(\tilde{S}_k),\ldots$

не возрастает.

Из сказанного следует, что

$\rho_3(\tilde{S}_{k+1})\ge \rho_3(\tilde{S}_k)+\cfrac{\tilde{\rho}_3-\rho_3(\tilde{S}_k)}{r}=\cfrac{\tilde{\rho}_3}{r}+\rho_3(\tilde{S}_k)\left (1+\cfrac{1}{r}\right )$

Тогда

$\rho_3(\tilde{S}_{r})\ge \cfrac{\tilde{\rho}_3}{r}\left ( \left (1+\cfrac{1}{r}\right ) + \left (1+\cfrac{1}{r}\right )^2 +\ldots + \left (1+\cfrac{1}{r}\right )^{r-1} \right ) =\\ \cfrac{\tilde{\rho}_3}{r}\left ( \cfrac{1-\left (1-\cfrac{1}{r}\right )^r }{\cfrac{1}{r}} \right ) ={\tilde{\rho}_3}\left ( {1-\left (1-\cfrac{1}{r}\right )^r }\right )\ge {\tilde{\rho}_3} \left (1-\cfrac{1}{e}\right )$

Последнее неравенство и доказывает теорему.

Содержательный смысл последней теоремы заключается в том, если маска заданного объема вычислена с помощью алгоритма 1, то потеря в степени диагностирования с использованием СПР_h не превосходит 40% от степени диагностирования с $СПР_{\tilde{h}}$ , построенного с помощью оптимальной маски того же объема.

Теперь перейдем к оценке сложности алгоритма 1.

Теорема 4. Вычислительная сложность алгоритма 1 оценивается величиной $O(|S|^2m|\tau|)$ . Объем необходимой для функционирования алгоритма памяти равен O(|S|) .

Доказательство. Оценим сначала вычислительную сложность алгоритма.

Как отмечалось ранее, максимальное количество итераций алгоритма равно (|S|-1) . На каждой итерации производится поиск точки проверки, доставляющей минимум величине (31.9). Общее количество точек проверки есть $m|\tau|$ , а для того чтобы подсчитать (31.9) для конкретной точки проверки, необходимо выполнить O(|S|) операций для вычисления $I'_{i:j}$ . Таким образом, общее количество операций в алгоритме

$(|S|-1)\cdot m|\tau|\cdot O(|S|)=O(|S|^2m|\tau|).$

Оценивая емкостную сложность алгоритма заметим, что в ходе его работы необходима память для хранения текущей маски, разбиения $\tilde{S}_k$ , счетчика итераций и двух значений J_k и $J_{k+1}$ . Ни одно из значений , J_k и $J_{k+1}$ не превышает по величине |S| . Суммарное количество элементов в блоках разбиения S_k равно |S| . Согласно следствию из теоремы 2 объем маски не превышает |S| . Отсюда получаем оценку емкостной сложности, приведенную в формулировке теоремы.

Экспериментальным данным для оценки эффективности алгоритма 1 и еще одного жадного алгоритма, о котором речь пойдет в следующей лекции, на ДИ, порождаемой реальными устройствами, будет посвящена отдельная лекция.

Ключевые термины:

Жадный алгоритм - алгоритм, основанный на принятии локально оптимальных решений на каждом этапе его работы в расчете на возможность получения глобального оптимума.

Дерево принятия решений - граф, обычно применяемый для решения задач классификации объектов. Он представляет собой дерево,на ребрах которого записаны атрибуты, являющиеся аргументами целевой функции, а в листьях записаны значения этой целевой функции. Во всех прочих вершинах дерева записаны атрибуты, по которым различаются классифицируемые объекты.

Краткие итоги:

В лекции описан жадный алгоритм поиска единой маски ДИ, базирующийся на использовании конструкции дерева принятия решений, призводится оценка объема получаемой маски и вычислительной сложности алгоритма.

Вопросы и упражнения

Обоснуйте возможность применения алгоритмов решения задач классификациио объектов к задачам поиска масок ДИ.
Кратко изложите на идейном уровне суть описанного в лекции алгоритма 1 поиска единой маски.
Поясните, в чем заключается различие алгоритма С4.5 и алгоритма 1, описанного в лекции.
Приведите верхнюю оценку объема минимальной маски для заданного СПР, получаемой по алгоритму 1.
Приведите оценки вычислительной сложности алгоритма 1 и объема необходимой для его функционирования памяти.

Дальше >>

Моделирование, тестирование и диагностика цифровых устройств

Жадные алгоритмы поиска масок

Ключевые термины:

Краткие итоги:

Вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Моделирование, тестирование и диагностика цифровых устройств

Жадные алгоритмы поиска масок

Ключевые термины:

Краткие итоги:

Вопросы и упражнения

Вопросы и ответы

Студенты