НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое программирование. Лекция 6: Двойственный симплекс – метод. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

Теория двойственности позволяет анализировать модели ЛП на чувствительность. Рассмотрим обычную задачу ЛП в виде

$\text{максимизировать} \; \sum_{j=1}^n c_j x_j = \max L(x)$

( 2.1)

при условиях

$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \le b_i, \; i=1,2,\ldots,m; \; x_j \ge 0.$

( 2.2)

Напомним ее экономическую интерпретацию. Целевая функция L(x) - это доход от реализации плана производства x ; a_ij - интенсивность расходования i -го ресурса при j -м способе производства; b_i - имеющийся уровень i -го ресурса.

1. Варьирование ограниченных ресурсов. Предположим, что величины ресурсов b=|| b_i || варьируются. Тогда возникают вопросы: при каких вариациях правых частей ограничений найденный оптимальный план x₀ не изменяется; как эти вариации влияют на функцию максимального дохода L_max? Ответ на эти вопросы дает анализ соответствующей задачи ЛП на чувствительность.

Пусть ограничение b_i получают некоторые вариации $\Delta b_i$ , что приводит к вариациям плана $x_0, x_0 = x_0(b+\Delta b)$ и функции $L_{\max} (x_0(b_0 + \Delta b))$ . Предположим, эти вариации $\Delta b$ таковы, что план $x_0(b + \Delta b)$ остается допустимым (т.е. удовлетворяет условию неотрицательности). Найдем отношения приращения

$\Delta L_{\max} (b) = L_{\max} (x_0(b_0+\Delta b)) - L_{\max} (x_0(b)) \; \text{к} \; \Delta b.$

Имеем

$\lim_{\Delta b_i \rightarrow 0} \frac{\Delta L_{\max}(b)}{\Delta b_i} = \frac{\partial L_{\max (b)}}{\partial b_i} ,$

( 2.3)

где b рассматривается как варьируемый параметр.

Вспомним, что в соответствии с основной теоремой двойственности

$L_{\max} (x_0) = \sum_j c_j x_j^0 = \sum_i b_i, y_i^0 ,$

( 2.4)

и, подставляя (2.7.4) в (2.7.3), получим

$\frac{\partial L_{\max (b)}}{\partial b_i} = y_i^0, \; i=1,2,\ldots,m .$

( 2.4)

Таким образом, оптимальные значения двойственных переменных y_i^0 определяют вклад каждого ресурса в доход L_max при оптимальном решении x₀. Эта величина численно равна дополнительному доходу при увеличении i -го ресурса b_i на единицу при условии, что ресурсы используются оптимальным образом.

Итак, величины y_i^0 служат показателями важности соответствующих ресурсов для системы. Чем большее значение y_i^0 при некотором i, тем существеннее вклад i -го ресурса в функцию максимального дохода L_max и тем выгоднеее его увеличение. Если для некоторого y_i^0 =0 , то i -й ресурс не является существенным ограничением для системы.

Обозначим через A_x матрицу оптимального базиса задачи ЛП при векторе ресурсов b. Очевидно соответствующее оптимальное решение

$x_{\text{опт}} = A_x^{-1} b.$

Предположим, что мы изменили вектор ресурсов b=|| b_i || на $b_{\text{н}}=b+\Delta b$ и хотим узнать, как это повлияет на оптимальное решение. Для этого найдем новое соответствующее базисное решение

$x_{\text{н}} = A^{-1}_x b_{\text{н}} = A^{-1}_x (b + \Delta b).$

Если все компоненты $x_{i \text{н}} \ge 0$ , то это решение $x_{\text{н}} = [x_{i\text{н}}]$ оптимально (т.е. оптимальный базис не изменился). В противном случае нужно произвести поиск нового решения, для этого можно применить двойственный симплекс-метод, начиная с текущего базисного решения $x_{\text{н}}$ .

2. Варьирование целевой функции. Теперь рассмотрим случай, когда варьируются коэффициенты {c_j}, j= 1,2,.,n.... Попытаемся выяснить условия, при которых найденный ранее оптимальный план останется оптимальным при таких вариациях.

Пусть вариациям $\delta_{c_r}$ подвергнется коэффициент $c_r : c_r^{\text{н}} = c_r + \delta_{c_r}$ . Обозначим через J_б, J_неб множество индексов базисных и небазисных векторов в оптимальном плане x₀ соответственно.

Найдем значения оценок $\Delta_j^{(\text{н})}$ после вариации c_r для двух случаев:

1) $r \in J_{\text{неб}}$ тогда $\Delta_j^{(\text{н})}=\Delta_j$ для всех $j \neq r$ ;

$\Delta_r^{(\text{н})} = \sum_{i \in J_{\delta}} c_i a_{ir} - (c_r + \delta_{c_r}), \; \text{для} \; j=r ;$

( 2.6)

2) $r \in J_{\text{б}}$ ,

$\Delta_r^{(\text{н})} = \sum_{i \in J_{\delta}} c_i^{(\text{н})} a_{ij} - c_j = \sum_{i \in J_{\delta}} c_i a_{ij} + \delta_{c_r} a_{rj} - c_j ; \; j \in J_{\text{неб}}$

( 2.7)

Очевидно, что для сохранения оптимальности прежнего плана при вариациях коэффициента c_r необходимо и достаточно сохранение знаков оценок $\Delta_j^{(\text{н})}$ для всех небазисных переменных. Поэтому из условий $\Delta_j^{(\text{н})} \ge 0$ в соответствии с формулами (2.6) и (2.7) можно определить допустимые вариации коэффициента $\delta_{c_r}$ , при которых сохраняется прежнее оптимальное решение.

До сих пор мы рассматривали вариации лишь одного коэффициента целевой функции. Этот же подход можно применить, когда варьируются одновременно несколько коэффициентов c_i.

В таком случае получим соотношения, аналогичные (2.7), в которых оценки $\Delta_j$ будут функциями уже нескольких параметров $(\delta_1, \delta_2,.,\delta_r)..$ .

Решая совместно систему неравенств вида $\Delta_j(c_1, c_2,.,c_r)\ge 0,\; j \in J_{\text{небы}}$ находим условия для вариаций $\delta_{c_r}$ , при которых прежний оптимальный базис сохраняется.

Эта задача относится к классу задач параметрического программирования.

3. Варьирование элементов матрицы ограничений A. Рассмотрим лишь случай вариации компонентов небазисных векторов A_j=[a_ij], i=1,2,...,m, поскольку исследование вариаций компонент базисных векторов A_i довольно сложное, легче заново решить задачу с новыми условиями.

Итак, пусть небазисный вектор A_j=[a_mj] изменился. Нужно выяснить, останется ли оптимальным текущий базис. Для этого полезно применить теорию двойственности. Пусть оптимальный базис прямой задачи A_x, а соответствующие оптимальные значения двойственных переменных y_i^0 . Как известно, условие оптимальности $\Delta_j \ge 0, \; \forall j \in J_{\text{неб}}$ . Вместе с тем в соответствии с (1.11), $\Delta_j = \sum_{i \in J_{\delta}} a_{ij} y_i^0 - c_j$ . Значит, если $\Delta_j^{(\text{н})} = \sum_{i \in J_{\delta}} a_{ij} y_i^0 - c_j \ge 0$ , то прежний оптимальный базис сохраняется.

4. Добавление еще одного способа производства. Предположим, что первоначально задача имеет вид

$\text{максимизировать} \; \sum_{j=1}^n c_j x_j$

( 2.8)

при условиях

$\sum_{j=1}^n A_j x_j \le b , \; x_j \ge 0.$

( 2.9)

Предположим, что найден оптимальный базис $\{ A_i \}, i \in J_{\delta}$ и соответствующие оптимальные решения прямой x_j^0 и двойственной y_j^0 задач.

Пусть прибавляется еще один (n+1) -й способ производства, которому отвечает вектор технологических затрат A_n+1=[a_{i n+1}] и коэффициент целевой функции c_n+1. Тогда будем иметь следующую задачу:

$\text{максимизировать} \; \sum_{j=1}^n c_j x_j + c_{n+1} x_{n+1}$

( 2.10)

при условиях

$\sum_{j=1}^n A_j x_j +A_{n+1} x_{n+1} \le b , \; x_j \ge 0, \; j=1,2,.,n+1.$

( 2.11)

Нужно определить, изменится ли при этом прежнее оптимальное решение и при каком значении коэффициента c_n+1 выпуск (n+1) -го продукта будет рентабельным (то есть $x_{n+1}^0 > 0$ ).

Чтобы оптимальное решение после ввода вектора A_n+1 не изменилось, необходимо, чтобы вектор A_n+1 и переменная x_n+1 оставались небазисными, т.е., чтобы $\Delta_{n+1} \ge 0$ . На основании теории двойственности получим

$\Delta_{n+1} = \sum_{i \in J_{\delta}} a_{i n+1} y_i^0 -c_{n+1}.$

Если $\sum_{i \in J} a_{i n+1} y_i^0 -c_{n+1} \ge 0$ , то прежний оптимальный план не изменится после включения выпуска (n+1) -го вида продукции.

Если же $\sum_{i \in J} a_{i n+1} y_i^0 -c_{n+1} < 0$ , то выпуск (n+1) -го вида продукции становится рентабельным, и прежний оптимальный план изменяется.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

Лекция 6: Двойственный симплекс – метод. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

2. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

Вопросы и ответы