Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лекция 5: Двойственность в линейном программировании. Нахождение допустимых базисных решений. Двойственная задача линейного программирования, ее структура и свойства. Общий случай двойственности.

A

|

версия для печати

2. Двойственная задача линейного программирования

2.1. Структура и свойства двойственной задачи

Задачу максимизации ЛП с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов b₁,.,b_m между различными потребителями, например между определенными технологическими процессами, которые представляются столбцами A₁,.,A_n матрицы ограничений задачи.

Любое допустимое решение задачи ЛП x₁,.,x_n дает конкретное распределение, которое указывает ту долю каждого из ресурсов, которая должна быть использована при осуществлении соответствующего технологического процесса.

Рассмотрим пример. Предприятие производит три вида продукции x₁, x₂ и x₃, каждый из которых проходит обработку на токарном, фрезеровальном и сверлильном станках. Общий фонд машинного времени для каждого из станков ограничен. Пусть c₁, c₂ и c₃ - прибыль от реализации единицы соответствующего вида продукции. Необходимо определить, какое количество продукции каждого вида следует производить каждую неделю, чтобы обеспечить максимальную прибыль.

Эта задача имеет такой вид:

$\text{максимизировать} \; c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3$

( 2.1.1)

при ограничениях

$\begin{align*} & a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{13} x_3 \leq b_1 ; \\ & a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{23} x_3 \leq b_2 ; \\ & a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + \ldots + a_{33} x_3 \leq b_3 . \end{align*}$

( 2.1.2)

где a_1j, a_2j, a_3j - время, необходимое для обработки единицы j -го вида продукции на токарном, фрезеровальном и сверлильном станках соответственно (j=1, 2 ,3), b1, b2, b3 - недельный ресурс машинного времени для группы токарных, фрезеровальных и сверлильных станков соответственно.

Обозначим через y1, y2, y3 - цену единицы времени работы токарного, сверлильного и фрезеровального оборудования.

Тогда a₁₁y₁ + a₂₁y₂ + a₃₁y₃ можно трактовать как затраты на изготовление единицы продукции первого вида;

Предположим, что цены ресурсов y1, y2, y3 выбраны так, что выполняются соотношения

$\begin{align*} a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + . + a_{13}y_3 \geq c_1 ;\\ a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + . + a_{23}y_3 \geq c_2 ;\\ a_{31}y_1 + a_{32}y_2 + . + a_{33}y_3 \geq c_3 . \end{align*}$

( 2.1.3.)

Поскольку b₁, b₂, b₃ - общий использованный ресурс машинного времени для каждого из станков, то b₁y₁+b₂y₂+b₃y₃ - общие затраты на производство (общая стоимость использованных ресурсов).

Тогда можно сформулировать следующую задачу.

Требуется определить цены y₁, y₂, y₃, удовлетворяющие условиям (2.1.3), при которых минимизируются суммарные затраты на производство, а именно:

$\text{минимизировать} \; g(y_1,y_2,y_3)= b_1y_1+b_2y_2+b_3y_3$

( 2.1.4.)

при ограничениях (2.1.3) и

$y_1 \geq 0, y_2 \geq 0, y_3 \geq 0.$

Задачу (2.1.3), (2.1.4) называют двойственной относительно задачи (2.1.1), называемой прямой.

Запишем прямую и двойственную задачи в общем виде.

Прямая задача:

$\text{максимизировать} \; \sum_{j=1}^n c_j x_j$

( 2.1.5.)

при ограничениях

$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j , i=1,2,.,m,$

( 2.1.6.)

$x_j \geq 0, \; j=1,2,.,n.$

( 2.1.7.)

Двойственная задача:

$\text{минимизировать} \; \sum_{i=1}^m b_i y_i$

( 2.1.8.)

при ограничениях

$\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i \geq c_j, \; j=1,2,.,n ,$

( 2.1.9.)

$y_i \geq 0, \; i=1,2,.,m.$

( 2.1.10.)

В матричном виде пара двойственных задач записывается следующим образом:

Прямая задача:

$\text{максимизировать} c^T x$

( 2.1.11.)

при ограничениях

$Ax \leq b;$

( 2.1.12.)

$x \geq 0$

( 2.1.13.)

Двойственная задача:

$\text{максимизировать} b^T y$

( 2.1.14.)

при условиях

$A^T y \geq c;$

( 2.1.15.)

$y \geq 0$

( 2.1.16.)

Сопоставляя формы записи прямой и двойственной задач, можно установить между ними следующие взаимосвязи.

Если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная будет задачей минимизации, и наоборот.
Коэффициенты целевой функции прямой задачи c₁,...,c_n становятся свободными членами ограничений двойственной задачи.
Свободные члены ограничений прямой задачи b₁,...,b_m становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи.
Матрица ограничений двойственной задачи получается путем транспонирования матрицы ограничений прямой задачи.
Знаки неравенств в ограничениях изменяются на противоположные.
Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной задачи, и наоборот.

Дальше >>

Введение в математическое программирование

2. Двойственная задача линейного программирования

2.1. Структура и свойства двойственной задачи

Вопросы и ответы

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

2. Двойственная задача линейного программирования

2.1. Структура и свойства двойственной задачи

Вопросы и ответы