исследование операций (личная):

Введение в математическое программирование
[+]
Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

Лекция 3: Математическое программирование. Линейное программирование. Виды задач линейного программирования. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

4. Решение задач линейного программирования симплекс–методом

Симплекс-метод, известный также под названием метода последовательного улучшения плана, впервые разработал Г.Данциг в 1947 г. Этот метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. В результате оптимальное решение находят за конечное число шагов.

Алгоритмы симплекс-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой.

Запишем ограничения задачи ЛП в таком виде:

A1x1 + A2x2 + ... + Anxn + An+1xn+1 + ... + An+mxn+m = A0.

Пусть A1,...,Am - множество линейно независимых векторов.

Тогда уравнение

A_1 x_1^* + A_2 x_2^* + \ldots + A_n x_n^* + A_{n+1} x_{n+1}^* + \ldots + A_{n+m} x_{n+m}^* = A_0 ( 4.1)
определяет базисное решение x_1^*, x_2^*, \ldots ,x_m^*,

Предположим, что это решение допустимо, то есть x_1^* \geq 0, x_2^* \geq 0, ., x_m^* \geq 0. Базис {A1,.,Am} образует m -мерное пространство, а потому каждый из векторов Am+1,.,Am+n единственным образом выражается через этот базис. Если Ar не входит в базис, то

A_1 x_{1r} + A_2 x_{2r} + \ldots + A_m x_{mr} = A_r, ( 4.2)
где xir - соответствующие коэффициенты (i = 1, 2, ..., m).

Предположим, что хотя бы одна из величин xir больше нуля.

Решение уравнения

A_1 x_1 + A_2 x_2 + \ldots + A_m x_m + A_r x_r = A_0 ( 4.3)
обозначим как \{ \widetilde{x}_1 , \widetilde{x}_2 , \ldots , \widetilde{x}_m , \widetilde{x}_r \}

Тогда, очевидно:

A_1 \widetilde{x}_1 + A_2 \widetilde{x}_2 + \ldots + A_m \widetilde{x}_m + A_r \widetilde{x}_r =A_0 . ( 4.4)

Умножив уравнение (4.2) на xr и вычтя полученное уравнение из уравнения (4.1), получим

A_1 (x_1^* - x_r x_{1r}) + A_2 (x_2^* - x_r x_{2r}) + \ldots + A_m (x_m^* - x_r x_{mr}) = A_0 - x_r A_r . ( 4.5)

Сравнив уравнения (4.5) и (4.4), находим связь нового решения \widetilde{x}_1, ., \widetilde{x}_m, x_r со старым базисным решением x^*_1, ., x^*_m:

\widetilde{x}_1 = x_1^* - x_r, \, \widetilde{x}_2 = x_2^* - x_r x_{2r} , \, \ldots , \, \widetilde{x}_m = x_m^* - x_r x_{mr} , \, x_r . ( 4.6)

Решение (4.6), во-первых, не будет базисным, так как содержит m + 1 переменную, а во-вторых, будет допустимым не для всех значений xr.

Чтобы новое решение оставалось допустимым, нужно выбрать значение xr таким, чтобы ни одна из величин \widetilde{x}_i = x_i^* - x_r x_{ir} \quad (i=1, 2, \ldots, m) не стала меньше нуля. Следовательно, максимальное значение переменной xr определяется соотношением

x_{r \max} = \min_i \left\{ \frac{x_i^*}{x_{ir}} \right\} , ( 4.7)
где xir > 0.

Чтобы сделать новое допустимое решение базисным, нужно одну переменную xi вывести из базисного решения, а соответствующий вектор из базиса. В этом случае новый базис будет содержать также m векторов.

Для этого выбираем значения в соответствии с (4.7). Тогда новое базисное решение имеет вид

& x_1^* - x_{r \max} x_{1r} ; \\ & x_2^* - x_{r \max} x_{2r} ; \\ & x_j \; \text{(опущен)} \\ & x_{r \max}
, а новый базис - (A1, A2, ., Aj-1, Aj+1, ., Am, Ar).

Такой переход от одного базиса к другому позволяет находить решения почти всех задач ЛП. Определив все крайние точки, можно вычислить значения целевой функции и найти оптимальное решение. Однако для больших значений m и n это практически невозможно. Поэтому для перехода от текущего решения к новому допустимому базисному решению, которому отвечает большее значение целевой функции, используют соответствующий критерий ( симплекс-разность ).

Новому ДБР x_1^* - x_r x_{1r}, x_2^* - x_r x_{2r}, . , x_m^* - x_r x_mr, x_r соответствует следующее значение целевой функции

z_1 &= c_1(x_1^* - x_r x_{1r}) + c_2(x_2^* - x_r x_{2r}) + . + c_r x_r = \\ & = (c_1 x_1^* + c_2x_2^* + \ldots + c_m x_m^*) + x_r (c_r - c_{1r} - \ldots - c_mx_{mr}) = \\ & = z_0 + x_r (c_r - c_1 x_{1r} - \ldots - c_m x_mr) ( 4.8)
, где z0 - значение целевой функции для начального ДБР;

сr-с1x1r - с2x2r - ... - сmxmr - симплекс-разность для переменной хr.

Симплекс-разность вычисляют для каждой переменной, не входящей в базисное решение, и выбирают такую небазисную переменную хr, для которой симплекс-разность положительна и максимальна.

Таким образом, алгоритм симплекс-метода состоит из следующих этапов:

  1. находят начальный базис и связанное с ним допустимое базисное решение ;
  2. вычисляют симплекс-разность для каждой переменной, не входящей в базисное решение ;
  3. вводят в базис наиболее 'выгодную' переменную с максимальной положительной симплекс-разностью ; ее значение x_{r \max} определяют из соотношения
    x_{r \max} = \min_i \left\{ \frac{x_i^*}{x_{ir}} \right\}
    для всех xir > 0 ;
  4. выводят из базисного решения переменную xj, соответствующую
    \min_i \left\{ \frac{x_i^*}{x_{ir}} \right\} = \frac{x_j^*}{x_{jr}}
    а из базиса - вектор Aj ;
  5. переходят к этапу 2 новой итерации.

Этапы 2 - 4 повторяют до тех пор, пока симплекс-разности для всех переменных, не входящих в базис, не станут отрицательными.

Это и есть признак оптимальности текущего базисного решения.

Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0