Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лекция 3: Математическое программирование. Линейное программирование. Виды задач линейного программирования. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

A

|

версия для печати

3. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры

Большинство задач, решаемых методами исследования операций, может быть сформулировано так:

максимизировать F(x₁, x₂, ., x_n) при ограничениях

$& g_1 (x_1 , . , x_n) \leq b_1 ; \\ & g_2 (x_1 , . , x_n) \leq b_2 ; \\ & . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad \\ & g_m (x_1 , . , x_n) \leq b_m$

, где f(x₁, x₂, ., x_n) - целевая функция, или критерий эффективности (например, прибыль от производства каких-либо видов продукции, стоимость перевозок и т.п.); X={x₁,.,x_n} - варьируемые параметры; g₁(x),.,g_m(x) - функции, которые задают ограничения на имеющиеся ресурсы.

Среди разных разделов математического программирования наиболее развитым и законченным является линейное программирование (ЛП).

Несмотря на требование линейности функций критериев и ограничений, в рамки линейного программирования попадают многочисленные задачи распределения ресурсов, управления запасами, сетевого и календарного планирования, транспортные задачи и прочие.

Рассмотрим некоторые из них.

Определение оптимального ассортимента. Имеются m видов ресурсов в количествах b1, b2, . , b_i, b_m и n видов изделий. Задана матрица A=||a_ij||, i=1 ,.,m, j=1,.,n, где a_ij характеризует нормы расхода i -го ресурса на единицу j -го вида изделий. Эффективность производства j -го вида изделий характеризуется показателем C_j, удовлетворяющим условию линейности. Нужно определить такой план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффективности будет наибольший.

Обозначим количество единиц k -го вида изделий, выпускаемых предприятием, через x_k, $k = \overline{1, K}$ . Тогда математическая модель этой задачи будет иметь такой вид:

$\text{максимизировать} \; \sum_k c_k x_k$

( 3.1)

при ограничениях

$\sum_k a_{ik} x_k \leq b_i , \quad i = 1, 2, . , m$

( 3.2)

Кроме ограничений на ресурсы (3.2) в эту модель можно ввести дополнительные ограничения на планируемый уровень выпуска продукции $x_j \geq x_{j0}$ , x_i : x_j : x_k = b_i : b_j : b_k для всех i, j, k и т.д.

Оптимальное распределение взаимозаменяемых ресурсов. Имеются m видов взаимозаменяемых ресурсов а₁, а₂, ., а_m, используемых при выполнении n различных работ (задач). Объемы работ, которые должны быть выполнены, составляют b₁, b₂, . , b_i, b_n единиц. Заданы числа $\lambda_{ij}$ , указывающие, сколько единиц j -й работы можно получить из единицы і -го ресурса, а также C_ij - затраты на производство j -й работы из единицы i -го ресурса. Требуется распределить ресурсы по работам таким образом, чтобы суммарная эффективность выполненных работ была максимальной (или суммарные затраты - минимальными).

Данная задача называется общей распределительной задачей. Количество единиц i -го ресурса, которое выделено на выполнение работ j -го вида, обозначим через x_ij.

Математическая модель рассматриваемой задачи такова:

$\text{минимизировать} \; \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m c_{ij} x_{ij}$

( 3.3)

при ограничениях

$\sum_{i=1}^m \lambda_{ij} x_{ij} \geq b_j, \quad j = 1, 2, ., n ,$

( 3.4)

$\sum_{j=1}^n x_{ij} = a_i, \quad i=1,2,.,m.$

( 3.5)

Ограничение (3.4) означает, что план всех работ должен быть выполнен полностью, а (3.5) означает, что ресурсы должны быть израсходованы целиком.

Примером этой задачи может быть задача о распределении самолетов по авиалиниям.

Задача о смесях. Имеется р компонентов, при сочетании которых в разных пропорциях получают разные смеси. Каждый компонент, а следовательно и смесь, содержит q веществ. Количество k -го вещества k = 1, 2, ., q, входящее в состав единицы і -го компонента и в состав единицы смеси, обозначим через а_ik и а_k соответственно.

Предположим, что а_k зависит от а_ik линейно, то есть если смесь состоит из x₁ единиц первого компонента, x₂ - единицу второго компонента и т.д., то

$a_k = \sum_i a_{ik} x_i .$

Задано р величин C_i, характеризующих стоимость, массу или калорийность единицы i -го компонента, и q величин b_k, указывающих минимально необходимое процентное содержание k -го вещества в смеси. Обозначим через x₁, x₂,.,x_р значение компонента р -го вида, входящего в состав смеси.