НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 7: Интерполяция функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.5. Теорема об остаточном члене интерполяции

Введем понятие остаточного члена интерполяции для оценки погрешности

$R_N (t) = f({t}) - L_N (t).$

( 6.1)

Теорема. Пусть функция f(t) имеет на отрезке [a, b] — N + 1 ограниченную производную. Тогда

$$ R_N (t) = \frac{1}{(N + 1)!} {\mathop \Pi\limits_{j = 0}^{N} (t - t_j)} \cdot f^{(N + 1)}(\xi ),$

где $\xi \in \left[{a, b}\right] $.$

Доказательство.

Рассмотрим функцию

${\psi}(x) = f(x) - L_N (x) - R_N (t)\frac{(x - t_0 )(x - t_1 ) \ldots (x - t_N)}{(t - t_0 )(t - t_1 ) \ldots (t - t_N)},$

имеющую, по крайней мере, N + 1 производную. По условию, эту производную имеет f(x), а два остальных члена — полиномы.

Кроме того, ${\psi}(x)$ на [a, b] имеет, по крайней мере, N + 2 нуля.

Их можно указать. Точки x = t_n (n = 0, …, N) — нули, поскольку f(t_n) = L(t_n), а последнее слагаемое обращается в них в нуль. N + 2 нулем является точка x = t в силу определения остаточного члена. Далее, поскольку между каждыми двумя нулями непрерывно дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль ее производной, на [a, b] имеется хотя бы N + 1 нуль ${\psi}^{\prime}.$ Применяя это рассуждение к $\psi^{\prime\prime}, \psi^{\prime\prime\prime}, \ldots$ можно показать, что существует точка $\xi \in [a, b]$ такая, что ${\psi}^{(N + 1)}(\xi ) = 0.$

Вычислим N + 1 производную правой части выражения для f(x) с учетом того, что L^{(N + 1)} = 0. Кроме того, в точке $\xi$

$\begin{gather*} {\psi}^{(N + 1)} (\xi ) = f^{(N + 1)} (\xi ) - L^{(N + 1)} (\xi ) - \frac{d^{N + 1}}{dx^{N + 1}}\left[{R_N (t) \cdot \frac{(x - t_0 ) \ldots (x - t_N)}{(t - t_0 ) \ldots (t - t_N)}}\right]_\xi, \\ L^{(N + 1)} (\xi ) = 0; {\psi}^{(N + 1)} (\xi ) = 0; \\ \frac{d^{N + 1}}{dx^{N + 1}} \left. \left[\frac{(x - t_0 ) \ldots (x - t_N)}{(t - t_N) \ldots (t - t_N)}\right]\right|_{x = \xi} = \frac {(N + 1)!}{\mathop \Pi\limits_{j = 0}^N (t - t_j)} \end{gather*}$

Тогда

$$ f^{(N + 1)} (\xi ) - R_N (t) \cdot \frac{{(N + 1)!}}{{ \mathop \Pi\limits_{j = 0}^{N} (t - t_j)}} = 0 $,$

откуда получим выражение для R_N(t):

$R_N (t) = \frac{{f^{(N + 1)} (\xi )}}{{(N + 1)!}}{ \mathop \Pi\limits_{j = 0}^N (t - t_j)}$

Рассмотрим некоторые важные следствия этой теоремы.

Следствие (точность интерполяции на равномерной сетке). Положим, что $t_n = n\tau, \tau = (b - a)/N, t \in \left[{a, b}\right],$ — сетка равномерная. В этом случае имеет место оценка

$\left|{R_N (t)}\right| \le \frac{{\tau ^{N + 1}}}{{N + 1}}C, C = \max\limits_{t \in \left[{a, b}\right]} \left|{f^{(N + 1)}(t)} \right|.$

Доказательство. Пусть $t = t_k + \alpha \tau , \alpha \in \left[{0, 1} \right], k = 0, 1, \ldots , N - 1.$

Тогда $t - t_n = k\tau + \alpha \tau - n\tau = (k + \alpha - n)\tau$ ; откуда ${\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (t - t_n)} = \tau ^{N + 1} {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (k + \alpha - n)}.$ Можно показать, что ${\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N}} \left|{k + \alpha - n}\right| \le N$ ! . Остаточный член оценивается следующим образом:

$$ R_N (t) = \frac{f^{(N + 1)} (\xi )}{(N + 1)!} {\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N} (t - t_n)} $,$

поэтому с учетом приведенных оценок получим

$\left|R_N(t)\right| \le \frac {\tau^{N + 1}}{N + 1} \max\limits_{\xi \in \left[{a, b}\right]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi)}\right|.$

Рассмотрим, как ведет себя оценка в задаче экстраполяции при удалении точки t от интервала [t₀, t_N]. При $t \in \left[{t_N , t_N + \tau }\right]$ имеем $\left|{R_N (t)}\right| \le \tau ^{N + 1} \cdot \max\limits_{\xi \in [t_0, t_N + \tau ]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi )}\right|,$ поскольку ${\mathop \Pi\limits_{n = 0}^{N + 1}} \left|{k + \alpha - n}\right| \le (N + 1)$ !. При

$t \in \left[{t_N + \tau , t_N + 2\tau }\right] \left|{R_N (t)}\right| \le (N + 2) \tau ^{N + 1} \cdot \max\limits_{\xi \in [t_0, t_N + 2\tau ]} \left|{f^{(N + 1)} (\xi )}\right|,$