НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 7: Интерполяция функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.12. Интерполяция функций двух переменных

Пусть сетка образована пересечением прямых x = x_n, n = 0, ..., N и y = y_m, m = 0, ..., M, f_nm = f(x_n, y_m) — значение функции в узле { x_n, y_m }. Воспользуемся, например, аппаратом кусочно - многочленной интерполяции. Для этого сначала реализуется кусочно - многочленная интерполяция заданной степени по x на каждой прямой y = y_m. Затем при каждом значении x = x_n реализуется кусочно - многочленная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге. Так, в случае кусочно - линейной интерполяции по обоим переменным этот метод приводит (для случая прямоугольника $x \in [x_n, x_{n + 1}], y \in [y_n, y_{n + 1}]$ ) к интерполяционному многочлену

$\begin{gather*} F(x, y) = f_{nm} \frac{(x - x_{n + 1})(y - y_{m + 1})}{(x_n - x_{n + 1})(y_m - y_{m + 1})} + f_{n + 1, m} \frac{(x - x_n)(y - y_{m + 1})}{(x_{n + 1} - x_n)(y_m - y_{m + 1})} + \\ + f_{n + 1, m + 1} \frac{(x - x_n)(y - y_m)}{(x_{n + 1} - x_n)(y_{m + 1} - y_m)} + f_{n, m + 1} \frac{(x - x_{n + 1})(y - y_m)}{(x_n - x_{n + 1})(y_{m + 1} - y_m)}. \end{gather*}$

Сходным образом можно провести последовательную лагранжеву интерполяцию, но при каждом фиксированном значении m, затем — при каждом фиксированном значении n с учетом первого шага интерполяции. Общая формула такого интерполянта аналогична одномерной формуле для интерполяционного полинома в форме Лагранжа:

$\begin{gather*} L_{NM} (x, y) = \sum\limits_{n = 0}^{N}{\sum\limits_{m = 0}^{M}{f_{nm}\prod\limits_{\substack{ i = 0 \\ i \ne n}} ^{N}{\prod\limits_{\substack{ j = 0 \\ j \ne m}}^{M}{\frac{(x - x_i)(y - y_j)}{(x_n - x_i)(y_m - y_j)}}} }}. \end{gather*}$

Если f_A, f_B, f_D — значение функции f(x, y) в вершинах A, B, D, некоторого треугольника на треугольной расчетной сетке, то вычислить приближенное значение функции внутри этого треугольника можно с помощью билинейной функции $f(x, y) \approx F(x, y) = ax + by + c,$ находя коэффициенты a, b, c из условий

ax_A + by_A + c = f_A, 
ax_B + by_B + c = f_B, 
ax_D + by_D + c = f_D,

где {x_A, y_A}, {x_B, y_B}, {x_D, y_D} - координаты вершин A, B, D. Погрешность такой интерполяции для функции f(x, y) с непрерывными вторыми производными будет O(h²), где h — длина наибольшей стороны треугольника АВD.

6.13. Задачи

Выписать интерполяционные полиномы первой и второй степени в форме Лагранжа и Ньютона.
Решение. Интерполяционные полиномы первой и второй степени в форме Лагранжа:

$\begin{multline*} L_1 (t) = f(t_0 )\frac{{t - t_1 }}{{t_0 - t_1 }} + f(t_1 )\frac{{t - t_0 }}{{t_1 - t_0 }}, \\ L_2 (t) = f(t_0 )\frac{{(t - t_1 )(t - t_2 )}}{{(t_0 - t_1 )(t_0 - t_2 )}} + f(t_1 )\frac{{(t - t_0 )(t - t_2 )}}{{(t_1 - t_0 )(t_1 - t_2 )}} + \\ + f(t_2 )\frac{{(t - t_0 )(t - t_2 )}}{{(t_2 - t_0 )(t_2 - t_1 )}}, \end{multline*}$

где t₀, t₁, t₂ — узлы интерполяции, f(t₁), f(t₂), f(t₃) - значения интерполируемой функции.

Интерполяционные полиномы первой и второй степени в форме Ньютона:

$\begin{gather*} N_1 (t) = f(t_1 ) + \frac{{f(t_2 ) - f(t_1 )}}{{t_2 - t_1 }}(t - t_1 ), \\ N_2 (t) = f(t_1 ) + \frac{{f(t_2 ) - f(t_1 )}}{{t_2 - t_1 }}(t - t_1 ) + \\ \frac{1}{{t_3 - t_1 }}\left[{\frac{{f(t_3 ) - f(t_2 )}}{{t_3 - t_2 }} - \frac{{f(t_2 ) - f(t_1 )}} {{t_2 - t_1 }}}\right](t - t_1 )(t - t_2 ). \end{gather*}$
Сравните количество арифметических действий, требуемое для вычисления интерполяционного полинома, записанного в двух формах:
```
L_n(x) = a₀ + a₁t + ... + a_ntⁿ, 
L_n(x) = a₀ + t(a₁ + t(a₂ + t(... (a_{n - 1} + c_nt) ...))) (схема Горнера)
```
Решение. В первом случае для вычисления значения в одной точке требуется
$\frac{n}{2}(n + 1)$
умножений и n сложений. Во втором — n умножений и n сложений.
Задана система узлов интерполяции:
$t_i = t_0 + \frac{{t_n - t_0 }}{{n - 1}}(i - 1), i = 1, \ldots , n.$

Какова погрешность интерполяции, если n = 3?

Решение. Сделаем замену переменных в выражении для остаточного члена

$R_3 (t) = (t - t_0)(t - \frac{t_0 + t_n}{2})(x - t_n), t = \frac{t_0 + t_n}{2} + \frac{t_n - t_0 }{2}z, z \in [- 1;1].$

Получим

$R_3 (t) = \frac{{(t_n - t_0 )}^3 }{2}(z^3 - z).$

Полученный кубический полином имеет на [- 1;1] экстремумы в точках

$z_{1, 2} = \pm \frac{1}{\sqrt 3 }.$

В таком случае
$$ \max \left|{R_3 (t)}\right| = \left\|{R_3 (t)}\right\| = \frac{{(t_n - t_0 )}^3 }{12\sqrt 3 } $.$
Предложите простой рекуррентный алгоритм вычисления коэффициентов интерполяционного полинома
```
P_n(t) = a₀ + a₁(t - t₀ ) + ... + a_n(t - t₀) ... (t - t_{N - 1}).
```
Решение. Для коэффициентов полинома получаем систему линейных уравнений с треугольной матрицей:

$\left. \begin{array}{c} a_0 = f_0, \\ a_0 + a_1 (t_1 - t_0 ) = f_1, \\ a_0 + a_1 (t_2 - t_0 ) + a_2 (t_2 - t_0 )(t_2 - t_1 ) = f_2, \\ \cdots \\ a_0 + a_1(t_N - t_0 ) + \ldots + a_N (t_N - t_0 ) \ldots (t_N - t_{N - 1}) = f_N, \end{array} \right.$

которая легко решается от первого уравнения к последнему:

$a_0 = f_0, a_1 = \frac{{f_1 - f_0 }}{{t_1 - t_0 }}, a = \frac{1}{{t_2 - t_1 }}\left({\frac{{f_2 - f_0 }}{{t_2 - t_0 }} + \frac{{f_1 - f_0 }}{{t_1 - t_0 }}}\right), \ldots$
Оценить погрешность приближения функции ln t'(t' = 1, 23) при помощи интерполяционного полинома второй степени по точкам 1, 1; 1, 2; 1, 3.
Решение. Остаточный член интерполяции будет

$R_N (t) = \frac{{f^{(N + 1)} (\xi )}}{{(N + 1)!}}(t - t_0 ) \ldots (t - t_N);$

при N = 2 имеем:

$\begin{gather*} \varepsilon = \left|{f(x) - L_2 (t)}\right| \le \frac{{\max\limits_{[1, 1;1, 3]} \left|{f^{(3)} (t)}\right|}}{6}\left|{(t - t_0 )(t - t_1 )(t - t_2 )}\right|, \\ \max\limits_{[1, 3;1, 2]} \left|{f^{(3)} (t)}\right| = \frac{2}{{1 \cdot 1, 3}} \approx 1, 5. \end{gather*}$

В таком случае

$\begin{gather*} \varepsilon = \left|{\ln (t^{\prime}) - L_2 (t)}\right| \le \frac{{1, 5}}{6}\left|{(1, 23 - 1, 1)(1, 23 - 1, 2)(1, 23 - 1, 3)}\right| \approx \\ \approx 6, 9 \cdot 10^{- 5}. \end{gather*}$
Показать, что погрешность интерполяции может быть выражена следующим образом:
```
f(t) - L_N(t) = (t - t₀) ... (t - t_N)f(t, t₀, ..., t_N),
```
где f(t, t₀, ..., t_N) — разделенная разность порядка N.

Решение. Из выражения для разделенной разности порядка N + 1

$\begin{gather*} f(t, t_0, \ldots , t_N) = \frac{{f(t)}}{{(t - t_0 ) \ldots (t - t_N)}} + \frac{{f(t_0 )}}{{(t_0 - t)(t_N - t_0 ) \ldots (t_0 - t_N)}} + \ldots + \\ + \frac{{f(t_N)}}{{(t_N - t)(t_N - t_0 ) \ldots (t_N - t_{N - 1})}}, \end{gather*}$

получим выражение для f(t):

$\begin{gather*} f(t) = f(t_0 )\frac{{(t - t_1 ) \ldots (t - t_N)}}{{(t_0 - t_1 ) \ldots (t_0 - t_N)}} + f(t_N)\frac{{(t - t_0) \ldots (t - t_{N - 1})}}{{(t_N - t_0 ) \ldots (t_N - t_{N - 1})}} + \\ + (t - t_0 ) \ldots (t - t_N) \cdot f(t, t_0, \ldots , t_N) = \\ = L_N (t) + (t - t_0 ) \ldots (t - t_N) \cdot f(t, t_0, \ldots , t_N). \end{gather*}$

Тогда

Сравнивая полученное выражение с выражением для остаточного члена интерполяции
$R_N (t) = f(t) - L(t) = \frac{{f^{(N + 1)} (\xi )}}{{(N + 1)!}}(t - t_0 ) \ldots (t - t_N),$
приходим к выводу, что для некоторой точки имеет место соотношение между разделенной разностью и производной порядка N + 1:

$f(t, t_0, \ldots , t_N) = \frac{{f^{(N + 1)} (\xi )}}{{(N + 1)!}}.$
Пусть значения функции f(t) заданы в узлах интерполяции t₁, t₂, t₃. Построить функцию
$$ g(t) = \frac{{a_0 + a_1 t}}{{d_0 + t}} $,$
для которой выполнялось бы условие интерполяции: g(t_i) = f(t_i), i = 1, 2, 3 (задача дробно - линейной интерполяции ).
Решение. Из условий интерполяции
$g(t_i) = \frac{a_0 + a_1 t_i}{d_0 + t_i} = f(t_i), i = 1, 2, 3$
получаем систему трех линейных уравнений:
```
a₀ + a₁t₁ - d₀f₁ = t₁f₁, 
a₀ + a₁t₂ - d₀f₂ = t₂f₂, 
a₀ + a₁t₃ - d₀f₂ = t₃f₃.
```
Вводя обозначения

$\begin{gather*} \tau_n = t_n - t_{i - 1}, \bar {\tau} = \frac{{\tau_n + \tau_{n + 1}}}{2}, \quad \Delta_n f = \frac{{f_n - f_{n - 1}}}{{\tau_n}}, \\ \Delta_{n + 1} f = \frac{{f_{n + 1} - f_n}}{{\tau_{n + 1}}}, \quad \delta_nf = \frac{{\Delta_{n + 1} f - \Delta_n f}}{{\bar {\tau}}}, \end{gather*}$

и применив метод последовательного исключения неизвестных, получим

$\begin{gather*} a_0 = (2t_n \Delta_n f \Delta_{n + 1} f - f_n t_n \delta_n f)/\delta_n (tf), \\ a_1 = f_n - 2\Delta_n f \Delta_{n + 1} f, b_0 = - t \delta_n (t f)/\delta_n f. \end{gather*}$

Здесь учтено, что
$$ \delta_n (tf) = t_n \delta_n f + \frac{{f_{n + 1} + f_{n - 1}}}{{\bar \tau_n}} $.$
Разумеется, знаменатель дробно - рационального выражения не должен обращаться в нуль на рассматриваемом отрезке.