Построение цикла с помощью инварианта

Расширенный алгоритм Евклида

Один из важнейших результатов элементарной теории чисел утверждает, что наибольший общий делитель двух целых чисел выражается в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами. Пусть m и n - два целых числа, хотя бы одно из которых не равно нулю. Тогда их наибольший общий делитель d = НОД(m,n) выражается в виде

d = um+vn,

где u и v - некоторые целые числа. Результат этот очень важен для практики, т.к. позволяет вычислить обратный элемент к n в кольце вычетов по модулю m. Действительно, пусть числа m и n взаимно просты, т.е. НОД(m,n) = 1. Тогда

1 = um+vn,

откуда следует

Нахождение обратного элемента в кольце вычетов Z_m применяется во многих дискретных алгоритмах, например, в схеме кодирования с открытым ключом.

Для вычисления наибольшего общего делителя d и одновременно чисел u и v используется так называемый расширенный алгоритм Евклида. В обычном алгоритме Евклида пара чисел (a,b) в цикле заменяется на пару (b,r), где r - остаток от деления a на b, при этом наибольший общий делитель у обеих пар одинаковый. Начальные значения переменных a и b равны m и n соответственно. Алгоритм заканчивается, когда b становится равным нулю, при этом a будет содержать наибольший общий делитель.

Идея расширенного алгоритма Евклида заключается в том, что на любом шаге алгоритма хранятся коэффициенты, выражающие текущие числа a и b через исходные числа m и n. При замене пары (a,b) на пару (b,r) эти коэффициенты перевычисляются.

Итак, в алгоритме участвуют переменные a, b, u₁, v₁, u₂, v₂, для которых выполняется следующий инвариант цикла:

I(a, b, u1, v1, u2, v2):  НОД(a,b) = НОД(m,n)  
              a = u1m+v1n
              b = u2m+v2n

Начальные значения этих переменных обеспечивают выполнение инварианта:

a = m, b = n,
u1 = 1, v1 = 0,
u2 = 0, v2 = 1.

Условием завершения цикла, как и в обычном алгоритме Евклида, является равенство нулю переменной b:

Q(a, b, u1, v1, u2, v2):  b = 0.

Осталось написать тело цикла, сохраняющее инвариант и уменьшающее абсолютную величину переменной b. Это нетрудно сделать, исходя из инварианта цикла. В обычном алгоритме Евклида пара (a,b) заменяется на (b,r), где r - остаток от деления a на b.

a = gb+r,  |r| < |b|.

Здесь g равняется целой части частного от деления a на b. Заметим, что в программировании, в отличие от школьной математики, операция взятия целой части перестановочна с операцией изменения знака:

целая часть(-x) = - целая часть(x)

Например, целая часть(-3.7) = -3. Это позволяет работать с отрицательными числами так же, как и с положительными, т.е. вообще не следить за знаком! Отметим также, что в большинстве языков программирования считается, что результат любой операции с целыми числами является целым числом, например, 8/3 = 2.

Переменная g вычисляется как целая часть частного от деления a на b:

g = целая часть (a/b)

Выразим остаток r в виде линейной комбинации a и b:

r = a-gb

Используя инвариант цикла, можно выразить r через исходные числа m и n:

r = a-gb = (u1m+v1n)-g(u2m+v2n) =
= (u1-gu2)m+(v1-gv2)n.

Через u'₁, v'₁, u'₂, v'₂ обозначаются новые значения переменных u₁, v₁, u₂, v₂. При замене (a,b) -> (b,r) они вычисляются следующим образом:

u'1 = u2,  v'1 = v2
u'2 = u1-gu2, v'2 = v1-gv2

По завершению цикла ответ будет находиться в переменных a (НОД исходных чисел m и n ), u₁, v₁ (коэффициенты выражения НОД через m и n ).

Выпишем алгоритм:

алгоритм Расширенный алгоритм Евклида(
    вх: цел m, цел n,
    вых: цел d, цел u, цел v
)
| дано: целые числа m, n, хотя бы одно отлично от нуля;
| надо: вычислить d = НОД(m, n) и найти u, v такие, что
|                 d = u * m + v * n;
начало алгоритма
| цел a, b, q, r, u1, v1, u2, v2;
| цел t;        // вспомогательная переменная
| // инициализация
| a := m; b := n;
| u1 := 1; v1 := 0;
| u2 := 0; v2 := 1;
| утверждение: НОД(a, b) == НОД(m, n)  и
|              a == u1 * m + v1 * n    и
|              b == u2 * m + v2 * n;
|
| цикл пока b != 0
| | инвариант: НОД(a, b) == НОД(m, n)  и
| |            a == u1 * m + v1 * n    и
| |            b == u2 * m + v2 * n;
| | q := a / b; // целая часть частного от деления a на b
| | r := a % b; // остаток от деления a на b
| | a := b; b := r;    // заменяем пару (a, b) на (b, r)
| |
| | // Вычисляем новые значения переменных u1, u2
| | t := u2;           // запоминаем старое значение u2
| | u2 := u1 - q * u2; // вычисляем новое значение u2
| | u1 := t;           // новое значение u1 := старое
| |                    //                 значение u2
| | // Аналогично находим новые значения переменных v1, v2
| | t := v2;
| | v2 := v1 - q * v2;
| | v1 := t;
| конец цикла
|
| утверждение: b == 0                 и
|              НОД(a, b) == НОД(m, n) и
|              a == u1 * m + v1 * n;
| // Выдаем ответ
| d := a;
| u := u1; v := v1;
конец алгоритма