Построение цикла с помощью инварианта

Вычисление логарифма без использования разложения в ряд

Схема построения цикла с помощью инварианта позволяет легко написать алгоритм вычисления логарифма заданного числа без использования разложения в ряд.

Пусть задано вещественное число x. Требуется вычислить логарифм числа x по основанию a c точностью где - некоторое положительное очень маленькое число. Для определенности, пусть a>1 (для a<1 можно воспользоваться тождеством log_1/ax = -log_ax ).

Из определения логарифма следует, что надо найти число y такое, что

ay = x.

Нам достаточно, чтобы это равенство выполнялось приближенно. В качестве инварианта используем условие

ayzt = x = const.

Таким образом, в цикле будут меняться три переменные

(y,z,t),

и инвариант записывается в виде

I(y,z,t): ayzt = x

Начальные значения переменных y, z, t выбираются так, чтобы выполнялся инвариант:

y0 = 0,  z0 = x,  t0 = 1.

Определим условие завершения цикла Q(y,z,t). Необходимо, чтобы искомая величина по окончанию цикла содержалась в переменной y. Следовательно, величина z^t должна быть близка к единице: тогда приблизительно выполняется равенство

т.е. y приближенно равен искомому логарифму. Для того, чтобы величина z^t была близка к единице, нужно, чтобы показатель степени t был близок к нулю, а основание z было не очень велико и не очень мало. Для этого достаточно выполнения трех неравенств

Можно доказать строго, что при выполнении этих неравенств, а также условия a^yz^t = x, величина y отличается от log_ax не больше чем на

Выполнение этих трех неравенств и являются условием завершения цикла:

Наконец, тело цикла должно преобразовывать переменные (y,z,t) так, чтобы абсолютная величина t монотонно убывала, а переменная z рано или поздно попадала бы в интервал (1/a,a), и при этом сохранялся инвариант. Такое преобразование T легко выписывается по инварианту цикла:

T(y,z,t) = (y+t, z/a, t), если z >= a 
T(y,z,t) = (y-t, z*a, t), если z <= 1/a
T(y,z,t) = (y, z*z, t/2), если 1/a < z < a

Заметим, что при применении преобразования T некоторая величина как бы перетекает из одних переменных в другие, при этом равенство a^yz^t = x остается неизменным.

Теперь можно выписать алгоритм вычисления логарифма:

вещ алгоритм логарифм(вх: вещ x, вещ a, вещ eps)
| дано: x > 0, a > 1, eps > 0
| надо: вычислить log_a x с точностью eps
начало алгоритма
| вещ y, z, t;
|
| // инициализация
| y := 0.0; z := x; t := 1.0;
| утверждение: a^y * z^t == x;
|
| цикл пока |t| >= eps или z <= 1.0/a или z >= a
| | инвариант: a^y * z^t == x;
| | если z >= a
| | | то
| | |   z := z/a; y := y + t;
| | иначе если z <= 1.0/a
| | | то
| | |   z := z*a; y := y - t;
| | иначе
| | |   z := z*z; t := t/2.0;
| | конец если
| конец цикла
|
| утверждение: |t| < eps  и
|              z > 1.0/a  и  z < a  и
|              a^y * z^t == x;
| ответ := y;
конец алгоритма