Графы и деревья

Список ребер

Этот способ задания графов наиболее удобен для внешнего представления входных данных. Пусть каждая строка входного файла содержит информацию об одном ребре ( дуге ):

<номер_начальной_вершины> <номер_конечной_вершины> [<вес_ребра>]

В качестве примера приведем списки ребер ( дуг ), задающие те же три графа с рис. 11.5, рис. 11.6 и рис. 11.7 (см. рис. 11.9).

a b 
a c 
b c
b d
c d
c f
f d
b f

1 2
1 4
3 1
3 2
3 5
4 3

a b 1
a c 10
b c 2
b d 10
c d 3

Если задается ориентированный граф, то номера вершин понимаются как упорядоченная пара, а если граф неориентированный - как неупорядоченная.

Списки смежности

Этот способ задания графов подразумевает, что для каждой вершины будет указан список всех смежных с нею вершин (для орграфа - список вершин, являющихся концами исходящих дуг ). Конкретный формат входного файла, содержащего списки смежности, необходимо обговорить отдельно. Например, в нашем случае начальная вершина отделена от списка смежности двоеточием:

<номер_начальной_вершины>: <номера_смежных_вершин>

Наиболее естественно применять этот способ для задания орграфов, однако и для остальных вариантов он тоже подходит.

В качестве примера приведем списки смежности, задающие все те же три графа, изображенные на рис. 11.5, рис. 11.6 и рис. 11.7 (см. рис. 11.10).

a: b c
b: c d f
c: d f
d: f

1: 2 4 
3: 1 2 5
4: 3

b: a 1 c 2 d 10
c: a 10 d 3

Иерархический список

Собственно, этот способ представления графов является всего лишь внутренней реализацией списка смежности: в одном линейном списке содержатся номера "начальных вершин ", а в остальных - номера смежных вершин или указатели на эти вершины. В качестве примера (см. рис. 11.11) приведем иерархический список, задающий орграф, изображенный на рис. 11.6.

Рис. 11.11. Пример иерархического списка

type uk_versh = ^vershina;
  uk_duga = ^duga
  vershina = record number : integer;
		    sled_vershina : uk_versh;
		    spisok_dug : uk_duga
	     end;
  duga = record konec_dugi : uk_versh;
	        sled_duga : uk_duga;
	 end;

Очевидное преимущество такого способа представления графов заключается в экономичном использовании памяти. И даже небольшая избыточность данных, к которой приходится прибегать в случае неориентированного графа, задавая каждое ребро как две дуги, искупается гибкостью всей структуры, что особенно удобно при необходимости частых перестроений в процессе работы программы.

Если в приведенные описания типов данных добавить поля, которые могли бы хранить веса вершин и дуг, то таким же способом можно задавать и взвешенные графы ( орграфы ).

Деревья

Дерево - это частный случай графа, наиболее широко применяемый в программировании.

Основные определения

Существует довольно много равносильных определений деревьев, вот лишь некоторые из них.

1. Дерево - это связный граф без циклов.
2. Дерево - это связный граф, в котором при N вершинах всегда ровно N-1 ребро.
3. Дерево - это граф, между любыми двумя вершинами которого существует ровно один путь.

Аналогичным образом определяется и ориентированное дерево - как орграф, в котором между любыми двумя вершинами существует не более одного пути.

Рис. 11.12. Корневое дерево высоты 3

Мы будем изучать и использовать только один частный случай ориентированных деревьев - корневые деревья (см. рис. 11.12).

Корневое дерево - это ориентированное дерево, в котором можно выделить вершины трех видов: корень, листья (другое их название: терминальные вершины ) и остальные вершины ( нетерминальные ); причем должны выполняться два обязательных условия:

1. из листьев не выходит ни одна дуга ; из других вершин может выходить сколько угодно дуг ;
2. в корень не заходит ни одна дуга ; во все остальные вершины заходит ровно по одной дуге.

Традиционно в математике и в родственных ей науках (в том числе и в теоретическом программировании) деревья "растут" вниз головой: это делается просто для удобства наращивания листьев в случае необходимости. Таким образом, на рисунках корень дерева оказывается самой верхней вершиной, а листья - самыми нижними.

Предок вершины v - это вершина, из которой исходит дуга, заходящая в вершину v. Потомок вершины v - это вершина, в которую заходит дуга, исходящая из вершины v. В этих терминах можно дать другие определения понятиям корень и лист: у корня нет предков, у листа нет потомков.

Бинарное дерево - это корневое дерево, каждая вершина которого имеет не более двух потомков. В таком случае иногда говорят о левом потомке и правом потомке для текущей вершины.

Высота корневого дерева - это максимальное количество дуг, отделяющих листья от корня. Если дерево не взвешенное, то его высота - это просто расстояние от корня до самого удаленного листа.

И в заключение мы приведем определение, связывающее произвольные графы с деревьями более плотно.

Каркас графа - это дерево, полученное после выбрасывания из графа некоторых ребер (см. рис. 11.13).

Рис. 11.13. Каркас графа

Примером каркаса является ( корневое ) дерево кратчайших путей от некоторой выделенной вершины (она будет корнем каркаса ) до всех остальных вершин графа.