Опубликован: 20.12.2010 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт
Курс содержит основные сведения, которые используются далее в теории уравнений математической физики и непосредственно при решении конкретных задач математики, физики и различных прикладных областей.
В курсе излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения основных типов уравнений. Курс включает также некоторые начальные сведения из вариационного исчисления.

План занятий

ЗанятиеЗаголовок <<Дата изучения
-
Лекция 1
Простейшие типы уравнений
В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными.
-
Тест 1
24 минуты
-
Лекция 2
Уравнения в полных дифференциалах
Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных. Рассказывается о решениях в квадратурах, задаче Коши и методе введения параметра.
-
Тест 2
24 минуты
-
Лекция 3
-
Тест 3
24 минуты
-
Лекция 4
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
В лекции рассказывается о линейных дифферециальных уравнения с постоянными коэффициентами, квазимногочленах и их свойствах, даются определение характеристического многочлена и постановка задачи Коши.
-
Лекция 5
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения
-
Лекция 6
-
Тест 4
24 минуты
-
Лекция 7
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общие сведения о системах уравнений. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общий метод решения.
Оглавление
-
Лекция 8
Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с вещественными коэффициентами.
-
Лекция 9
-
Тест 5
24 минуты
-
Лекция 10
-
Лекция 11
-
Тест 6
24 минуты
-
Лекция 12
-
Лекция 13
Теорема о достаточных условиях для минимума и задача о брахистохроне
Некоторые свойства простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры - задачи о брахистохроне и о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь.
-
Лекция 14
-
Лекция 15
-
Тест 7
24 минуты
-
Лекция 16
Исследование задачи Коши
Вспомогательные сведения. Приближенные решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о сравнении двух приближенных решений задачи Коши.
-
Лекция 17
Теоремы существования и единственности задачи Коши и о продолжении решения
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения.
-
Лекция 18
-
Лекция 19
-
Тест 8
24 минуты
-
Лекция 20
-
Лекция 21
-
Тест 9
24 минуты
-
Лекция 22
-
Лекция 23
-
Тест 10
24 минуты
-
Лекция 24
Фундаментальные системы решений
Уточнение теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Однородные нормальные системы. Фундаментальные системы решений. Теорема Лиувилля-Остроградского.
-
Лекция 25
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных. Следствия для одного уравнения (однородного и неоднородного) n-го порядка.
-
Тест 11
24 минуты
-
Лекция 26
-
Тест 12
36 минут
-
Лекция 27
-
5 часов
-