НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Дифференциальные уравнения

Опубликован: 20.12.2010 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский физико-технический институт

Курс содержит основные сведения, которые используются далее в теории уравнений математической физики и непосредственно при решении конкретных задач математики, физики и различных прикладных областей.

В курсе излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения основных типов уравнений. Курс включает также некоторые начальные сведения из вариационного исчисления.

Предварительные курсы Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Дополнительные курсы Математический анализ. Интегральное исчисление Математический анализ Введение в математический анализ Математический анализ. Ряды

Вам нравится? Нравится 21 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Простейшие типы уравнений В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными. Оглавление Введение Методы решения некоторых типов ураввнений Основные понятия Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения Определение общего решения Неявная функция Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенное относительно производной Геометрическая интерпретация Поле направлений Задача Коши Теорема существования и единственности задачи Коши Дифференциалы Уравнение в дифференциалах Задача Коши для уравнения в дифференциалах Уравнения в полных дифференциалах Пример на плоскости без начала координат Типы уравнений в полных дифференциалах - уравнения с разделенными переменными Уравнение с разделяющимися переменными Примеры Задача Литература	-
Тест 1 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 2	Уравнения в полных дифференциалах Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных. Рассказывается о решениях в квадратурах, задаче Коши и методе введения параметра. Оглавление Введение Уравнение в полных дифференциалах Теорема существования для уравнения в полных дифференциалах Иллюстрация к доказательству Условие интегрируемости Клеро-Эйлера Определение интегрирующего множителя Другие простые типы уравнений Однородное уравнение Линейные уравнения (метод лагранжа вариации постоянных) Задача Коши для линейного уравнения Замечания о формулах в квадратурах Задача для уравнения Бернулли Замечания о неразрешимости в квадратурах Замечания о методе введения параметра Задача Коши для уравнения с параметром (две эквивалентные формулировки) Метод введения параметра Пример уравнения Лагранжа	-
Тест 2 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 3	Уравнения высших порядков В лекции рассказывается об использование инвариантности уравнения относительно группы преобразований для понижения порядка уравнения. Изучаются некоторые конкретные типы уравнений, допускающих понижение порядка. Оглавление Введение Уравнения высших порядков, понижение порядка Определение решения Задача Коши Случай уравнения разрешенного относительно старшей производной Понижение порядка уравнения Основная идея Определение инвариантности уравнения Теорема о представлении инвариантного уравнения Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка Примеры	-
Тест 3 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 4	Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами В лекции рассказывается о линейных дифферециальных уравнения с постоянными коэффициентами, квазимногочленах и их свойствах, даются определение характеристического многочлена и постановка задачи Коши. Оглавление Введение Линейные дифферециальные уравнения с постоянными коэффициентами Предварительные сведения о комплексных функциях вещественного переменного Определение экспоненты и ее свойства Квазимногочлен Лемма о степени квазимногочлена Лемма о единственности представления квазимногочлена Символика для операции дифференцирования и ее свойства Общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами Определение решения Определение характеристического многочлена и характеристического уравнения Описание метода решения Следствие о разрешимости в квадратурах Задача Коши Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши	-
Лекция 5	Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения Лекция посвящена решениям однородных и неоднородных уравнения, в правой части которых квазимногочлен. Рассказывается о вещественной форме записи вещественного решения уравнения с вещественными коэффициентами. Оглавление Введение Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о виде решения линейные дифференциальные уравнения Доказательство теоремы Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Предсталение решения неоднородного решения в виде суммы частного решения и общего однородного Представление решения в виде суммы частных решений Теорема о виде частного решения для неоднородного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена Метод неопределенных коэффициентов Действительная форма решений Уравнение Эйлера	-
Лекция 6	Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами Первая краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром. Оглавление Введение Краевая задача для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Формулировка первой краевой задачи Упражнения Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром Теорема о виде решения задачи с малым параметром Иллюстрация решения Доказательство теоремы Замечания о сингулярности и малом параметре О явлении пограничного слоя Пример для правого конца Уравнение 2-го порядка с малым параметром Теорема о виде решения для уравнения n-го порядка с параметром Иллюстрация решения Доказательство теоремы Поведение решения	-
Тест 4 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 7	Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Общие сведения о системах уравнений. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общий метод решения. Оглавление Введение Матричная функция скалярного аргумента Определения непрерывности, дифференцируемости и интеграла матричной функции Теорема о производной суммы матричных функций Теорема о производной произведения матричных функций Формула Ньютона-Лейбница для матричных функций Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений Линеаризация уравнения n-го порядка Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка Нормальная форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений Определение решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентам Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений Идея решения Теорема о приведении оператора к треугольному виду Общий метод решения системы линейных дифференциальных уравнений Следствие о разрешимости в квадратурах Теорема для решения задачи Коши Однородное уравнение для системы Теорема о виде решения	-
Лекция 8	Поиск решения методом неопределенных коэффициентов Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с вещественными коэффициентами. Оглавление Введение Постановка задачи Представление общего решения в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения Представление решения в виде суммы решений Частный случай для квазимногочлена Теорема о виде решения для квазимногочлена Доказательство теоремы Поиск решения методом неопределенных коэффициентов Поиск вещественного решения Матричные формулы решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами Экспонента от матрицы Определение экспоненты от матрицы Свойства экспоненты от матрицы Теорема о виде решения в матричной форме Эффективное вычисление экспоненты Частный случай для диагональной матрицы	-
Лекция 9	Матричные формулы Экспонента от матрицы и ее вычисление. Матричная формула решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Оглавление Введение Жорданова форма матрицы линейного преобразования Определение цепочки векторов для собственного значения Теорема Жордана о базисе из цепочек соответствующих собственным значениям линейного преобразования Жорданова форма матрицы линейного преобразования Задача для одного собственного вектора Экспонента для жордановой формы матрицы Уточнение некоторых результатов Теоремы о виде решения однородного уравнения Преобразования Лапласа. Элементы операционного исчисления Определение оригинала Теорема об интегрировании оригинала Определение изображения по Лапласу оригинала	-
Тест 5 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 10	Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа, теоремы о представлении оригинала в виде интеграла от изображения, об однозначном восстановлении оригинала и об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей. Оглавление Введение Определения оригинала и изображения Некоторые свойства преобразования Лапласа Вид изображения для функции имеющую n-ю производную, являющуюся оригиналом Теорема о представлении оригинала в виде интеграла от изображения Теорема об однозначном восстановлении оригинала Преобразование Лапласа от квазимногочлена Теорема об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей	-
Лекция 11	Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Операционный метод решения для систем. Оглавление Введение Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений Новый способ решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Замечания об операционном методе Применение преобразования лапласа к решению систем диффернциальных уравнений Операционный метод решения для систем Элементы вариационного исчисления Постановка вопроса Пример задачи для движения точки Математческая постановка задачи	-
Тест 6 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 12	Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера В лекции рассматривается простейшая задача вариационного исчисления, даются основные результаты. Рассматривается уравнение Эйлера и его применение для определения экстремального функционала. Оглавление Введение Простейшая задача вариационного исчисления Определение допустимой функции Постановка задачи Основные результаты Определение вариации Введение первой вариации Определение допустимой вариации Теорема о минимуме функционала Теорема Эйлера Определение экстремального функционала Обсуждение результатов	-
Лекция 13	Теорема о достаточных условиях для минимума и задача о брахистохроне Некоторые свойства простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры - задачи о брахистохроне и о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь. Оглавление Введение Понижение порядка для уравнения Эйлера Теорема о достаточных условиях для минимума Задача о брахистохроне Задача о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь	-
Лекция 14	Функционалы, зависящие от нескольких функций Функционалы, зависящие от нескольких функций. Функционалы, зависящие от от старших производных. Задача со свободным концом. Оглавление Введение Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления Функционалы, зависящие от нескольких функций Постановка задачи Теорема о системе Эйлера Функционалы зависящие от старших производных Определение допустимой функции Постановка задачи Необходимое условие решения (уравнение Эйлера) Определение экстремали Задача со свободным концом Теорема о естественном краевом условии Задача о брахистохроне со свободным концом Заключение Задача для самостоятельного решения	-
Лекция 15	Изопараметрическая задача и задача Лагранжа В лекции рассматриваются изопериметрическая задача и задача Лагранжа. Оглавление Введение Условный экстремум Изопараметрическая задача Определения допустимой функции и минимума Теорема о существовании экстремали Пример с "веревкой заданной длины" Задача Лагранжа Определения допустимой пары и минимума Геометрический смысл задачи Теорема о существовании экстремали	-
Тест 7 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 16	Исследование задачи Коши Вспомогательные сведения. Приближенные решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о сравнении двух приближенных решений задачи Коши. Оглавление Введение Исследование задачи Коши Вспомогательные сведения Лемма Гронуолла О приближенных решениях Определение приближенного решения Теорема об оценке Комментарии к теореме	-
Лекция 17	Теоремы существования и единственности задачи Коши и о продолжении решения Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения. Оглавление Введение Теорема существования и единственности задачи Коши Доказательство теоремы Теорема о продолжении решения Дополнительные замечания	-
Лекция 18	Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру задачи Коши Зависимость решения задачи Коши от параметров, входящих в уравнение, и от начальных данных (непрерывность, дифференцируемость, уравнение в вариациях). Оглавление Введение Зависимость решения от параметров и начальных данных Теорема о существовании и единственности решения Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру Некоторые дополнения О гладкости решений Зависимость решения от начальных данных О количестве начальных данных О решении уравнения порядка n	-
Лекция 19	Уравнения неразрешенные относительно старшей производной Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения. Оглавление Введение Уравнения неразрешенные относительно старшей производной. Особые решения Формулировка задачи Коши Теорема о решении задачи Коши Определение особого решения Теорема о нулевом решении Определение p-дискримантного множества Примеры Уравнение Клеро Задача для самостоятльного решения Автономные системы дифференциальных уравнений Простейшие свойства Определение фазового пространства	-
Тест 8 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 20	Автономные системы дифференциальных уравнений Основные свойства автономных систем. Положение равновесия. Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядка. Оглавление Введение Автономные системы дифференциальных уравнений Положение равновесия Теорема о положении равновесия - необходимое и достаточное условия Классификация положений равновессия линейной автономной системы второго порядка Невырожденные положения равновесия Устойчивый узел Неустойчивый узел Устойчивый и неустойчивый фокусы Вырожденные положения равновесия Центр Заключительные замечания О нелинейных автономных системах Общие соображения. Линеаризация уравнения Замечания о качественном поведении решений Замечания для вырожденного положения Случай уравнений 2-го порядка	-
Лекция 21	Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы Положение равновесия нелинейной автономной системы, устойчивость и асимптотическая устойчивость, теорема Ляпунова. Оглавление Введение Постановка задачи о поведении решения в окрестности положения равновесия Устойчивость по Ляпунову Определение ассимптотически устойчивого решения Теорема о достаточных услвиях для линейной системы Общий случай Теорема о достаточных условиях для общего случая Дополнения к теореме Первые интегралы Теорема о виде дифференциала	-
Тест 9 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 22	Первые интегралы Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов. Оглавление Введение Повторение лекции 6 Определение первого интеграла Замечания о законе сохранения энергии Свойства первых интегралов Определение независимых первых интегралов Теорема о существовании n-1 независимых интегралов Теорема о необходимом и достаточном условии для первого интеграла в области Теорема о представлении первого интеграла в виде функции от независимых интегралов	-
Лекция 23	Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов. Оглавление Введение Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка Определение решения Определение характеристик уравнения Теорема о решении как о первом интеграле Теорема об общей формуле решения Задача Коши Теорема существования и единственности Пример Системы с переменными коэффициентами Уточнение исследования задачи Коши	-
Тест 10 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 24	Фундаментальные системы решений Уточнение теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Однородные нормальные системы. Фундаментальные системы решений. Теорема Лиувилля-Остроградского. Оглавление Введение Постановка задачи Коши Простейшие свойства Определение линейно-зависимых решений Теорема о линейной независимости векторов в точке Определение фундаментальной системы решений Теорема о существовании фундаментальной системы решений Теорема о представлении решения в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений Описание решений с точки зрения теории линейных пространств Определение фундаментальной матрицы решений Свойства фундаментальной матрицы решений Определитель Вронского Теорема Лиувилля-Остроградского Теорема о фундаментальной системе решений Теорема о фундаментальной матрице решений	-
Лекция 25	Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных. Следствия для одного уравнения (однородного и неоднородного) n-го порядка. Оглавление Введение Неоднородные системы линейных уравнений. Постановка задачи Простейшие свойства решений Общая формула решения Метод Лагранжа вариации постоянных Теорема о решении в квадратурах Пример решения задачи Коши Одно линейное уравнения n-го порядка Уточнение исследования задачи Коши Однородное уравнение Простейшие свойства Определение линейно-зависимых решений Теорема о линейно-зависимых решениях Определение фундаментальной системы решений Теорема о существовании фундаментальной системы решений Теорема о представлении произвольного решения Определение вронскиана системы решений Формула Лиувилля-Остроградского Неоднородное уравнение Теорема о необходимом и достаточном условиях Метод Лагранжа вариации постоянных	-
Тест 11 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 26	Теорема Штурма Осцилляционные свойства решений однородного уравнения второго порядка, теорема Штурма и ее следствия. Оглавление Введение Постанрвка задачи Теорема о конечном числе нулей на отрезке Преобразование уравнения Теорема Штурма Иллюстрации к теореме Штурма Частный случай Теорема о смене знака Теорема о расстоянии между соседними нулями Пример уравнения Бесселя	-
Тест 12 36 минут	12 заданий	-
Лекция 27	Доказательство теоремы Жордана Доказательство теоремы о возможности приведения матрицы линейного преобразования к жордановой форме; теорема была использована в конструкциях, рассмотренных в лекции 9. Оглавление Введение О теореме Жордана Определение цепочки векторов Теорема Жордана Вспомогательные результаты Определение линейно зависимых векторов относительно подпространства Определение базиса относительно пподпространства Леммы о базисах Лемма о многочленах Определение аннулируещего многочлена Лемма о существовании аннулирующего линейное преобразование многочлена Построение базиса из цепочек Определение корневого вектора Определение корневого пространства Лемма о представлении пространства в виде прямой суммы корневых пространств Вспомогательная лемма Построение базиса из цепочек	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Дифференциальные уравнения

Предварительные курсы

Дополнительные курсы

План занятий