Методы разработки и анализа алгоритмов

Нисходящим проектированием алгоритмов, проектированием алгоритмов "сверху вниз" или методом последовательной (пошаговой) нисходящей разработки алгоритмов называется такой метод составления алгоритмов, когда исходная задача (алгоритм) разбивается на ряд вспомогательных подзадач (подалгоритмов), формулируемых и решаемых в терминах более простых и элементарных операций (процедур). Последние, в свою очередь, вновь разбиваются на более простые и элементарные, и так до тех пор, пока не дойдём до команд исполнителя. В терминах этих команд можно представить и выполнить полученные на последнем шаге разбиений подалгоритмы (команд системы команд исполнителя).

Восходящий метод, наоборот, опираясь на некоторый, заранее определяемый корректный набор подалгоритмов, строит функционально завершенные подзадачи более общего назначения, от них переходит к более общим, и так далее, до тех пор, пока не дойдем до уровня, на котором можно записать решение поставленной задачи. Этот метод известен как метод проектирования "снизу вверх".

Структурные принципы алгоритмизации ( структурные методы алгоритмизации) – это принципы формирования алгоритмов из базовых структурных алгоритмических единиц (следование, ветвление, повторение), используя их последовательное соединение или вложение друг в друга с соблюдением определённых правил, гарантирующих читабельность и исполняемость алгоритма сверху вниз и последовательно.

Структурированный алгоритм – это алгоритм, представленный как следования и вложения базовых алгоритмических структур. У структурированного алгоритма статическое состояние (до актуализации алгоритма) и динамическое состояние (после актуализации) имеют одинаковую логическую структуру, которая прослеживается сверху вниз ("как читается, так и исполняется"). При структурированной разработке алгоритмов правильность алгоритма можно проследить на каждом этапе его построения и выполнения.

Теорема (о структурировании). Любой алгоритм может быть эквивалентно представлен структурированным алгоритмом, состоящим из базовых алгоритмических структур.

Одним из широко используемых методов проектирования и разработки алгоритмов (программ) является модульный метод (модульная технология).

Модуль – это некоторый алгоритм или некоторый его блок, имеющий конкретное наименование, по которому его можно выделить и актуализировать. Иногда модуль называется вспомогательным алгоритмом, хотя все алгоритмы носят вспомогательный характер. Это название имеет смысл, когда рассматривается динамическое состояние алгоритма; в этом случае можно назвать вспомогательным любой алгоритм, используемый данным в качестве блока (составной части) тела этого динамического алгоритма. Используют и другое название модуля – подалгоритм. В программировании используются синонимы – процедура, подпрограмма.

Свойства модулей:

• функциональная целостность и завершенность (каждый модуль реализует одну функцию, но реализует хорошо и полностью);
• автономность и независимость от других модулей (независимость работы модуля-преемника от работы модуля-предшественника; при этом их связь осуществляется только на уровне передачи/приема параметров и управления);
• эволюционируемость (развиваемость);
• открытость для пользователей и разработчиков (для модернизации и использования);
• корректность и надежность;
• ссылка на тело модуля происходит только по имени модуля, то есть вызов и актуализация модуля возможны только через его заголовок.

Свойства (преимущества) модульного проектирования алгоритмов:

• возможность разработки алгоритма большого объема (алгоритмического комплекса) различными исполнителями;
• возможность создания и ведения библиотеки наиболее часто используемых алгоритмов (подалгоритмов);
• облегчение тестирования алгоритмов и обоснования их правильности ;
• упрощение проектирования и модификации алгоритмов ;
• уменьшение сложности разработки ( проектирования ) алгоритмов (или комплексов алгоритмов);
• наблюдаемость вычислительного процесса при реализации алгоритмов.

Тестирование алгоритма – это проверка правильности или неправильности работы алгоритма на специально заданных тестах или тестовых примерах – задачах с известными входными данными и результатами (иногда достаточны их приближения). Тестовый набор должен быть минимальным и полным, то есть обеспечивающим проверку каждого отдельного типа наборов входных данных, особенно исключительных случаев.

Пример. Для задачи решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 такими исключительными случаями, например, будут: 1) a = b = c = 0; 2) a = 0, b, c – отличны от нуля; 3) D = b² – 4ac < 0 и др.

Тестирование алгоритма не может дать полной (100%-ой) гарантии правильности алгоритма для всех возможных наборов входных данных, особенно для достаточно сложных алгоритмов.

Полную гарантию правильности алгоритма может дать описание работы и результатов алгоритма с помощью системы аксиом и правил вывода или верификация алгоритма.

Пример. Составим алгоритм нахождения числа всех различных двоичных сообщений (двоичных последовательностей) длины n битов, используя при этом не более одной операции умножения, и докажем правильность этого алгоритма. Вначале найдем число всех таких сообщений. Число двоичных сообщений длины 1 равно 2 = 2¹ (это "0" и "1"), длины 2 равно 4 = 2² ("00", "01", "10", "11"). Отправляясь от этих частных фактов, методом математической индукции докажем, что число различных сообщений длины n равно 2ⁿ . Этот индуктивный вывод докажет правильность алгоритма.

Пусть это наше утверждение верно для n = k. Тогда для n = k + 1 получаем, что добавление каждого бита (0 или 1) к любому из 2^k сообщений длины k приведет к увеличению числа сообщений в 2 раза, то есть их число будет равно 2 x 2^k = 2^k+1 , что и доказывает наше индуктивное предположение.

Составим теперь алгоритм вычисления числа x = 2ⁿ с использованием операции умножения только один раз.

Прологарифмируем последнее равенство. Получим ln(x) = ln(2ⁿ) = n ln(2) .

Используя равенство exp(ln(x)) = x, получим, что exp(ln(x)) = x = exp(n ln(2)).

Остается теперь записать простейший алгоритм вычисления числа x.

Program Power;
Uses Crt;
	Var x: real;
		n: integer;
Begin
	ClrScr;
	WriteLn('Введите длину в битах n ='); { приглашение к вводу входного параметра }
	ReadLn(n); { ввод входного параметра }
	x:=exp(n*ln(2)); { вычисление степени }
	WriteLn('количество сообщений равно: ', int(x+0.5)); { вывод х с округлением }
End.

Для несложных алгоритмов грамотный подбор тестов и полное тестирование может дать полную картину работоспособности (неработоспособности).