Бином Ньютона

Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел \[ C_n^0,C_n^1,\ldots,C_n^n \] . Известно, что \[ (a + x)^2 = a^2 + 2ax + x^2 \] и \[ (a + x)^3 = a^3 + 3a^2 x + 3ax^2 + x^3. \] Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей разложение для \[ (a + x)^n \] . Запишем \[ (a + x)^n \] в виде \[ (a + x)^n = \underbrace{(a + x)(a + x)\ldots (a + x)}_{n \text{ раз}}. \] Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, \[ (a +x)^2 \] запишем в виде \[ (a + x)^2 = (a + x)(a + x) = aa + ax + xa + xx, \] а \[ (a + x)^3 \] - в виде \[ (a + x)^3 = (a + x)(a + x)(a + x) =\\= aaa + aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xxx. \] Видно, что в формулу (10.5) входят все размещения с повторениями, составленные из букв \[ x \] и \[ a \] по две буквы в каждом размещении, а в формулу (10.6) - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (10.4) мы получим всевозможные размещения с повторениями букв \[ x \] и \[ a \] , состоящие из \[ n \] элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв \[ x \] (тогда и букв \[ a \] в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит \[ k \] букв \[ x \] и, следовательно, \[ n - k \] букв \[ a \] . Эти члены являются перестановками с повторениями, составленными из \[ k \] букв \[ x \] и \[ n - k \] букв \[ a \] . Поэтому их число равно \[ P(k,n - k) = C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}. \] Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение \[ x^k a^{n - k} \] войдет с коэффициентом \[ C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} \] . Итак, мы доказали, что \[ (a + x)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n - 1} x + \ldots + C_n^k a^{n - k} x^k + \ldots + C_n^n x^n. \] Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве \[ a = 1 \] , то получим \[ (1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + \ldots + C_n^k x^k + \ldots + C_n^n x^n. \] Мы видим, что \[ (1 + x)^n \] является производящей функцией для чисел \[ C_n^k \] , \[ k = 0,1,\ldots \] . С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел \[ C_n^k \] .

Ряд Ньютона

Мы назвали, как это обычно делают, формулу \[ (a + x)^n \] биномом Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно. Формулу для \[ (a + x)^n \] хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу \[ (a + x)^n \] на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если \[ a \] - положительное число и \[ \left| x \right| < a \] , то для любого действительного значения \[ \alpha \] имеет место равенство \[ \begin{gathered} (x + a)^\alpha = a^\alpha + \alpha a^{\alpha - 1} x + \frac{{\alpha (\alpha - 1)}} {{1 \cdot 2}}a^{\alpha - 2} x^2 + \ldots \\ \ldots + \frac{{\alpha (\alpha - 1)\ldots (\alpha - k + 1)}} {{1 \cdot 2\ldots k}}a^{\alpha - k} x^k + \ldots \end{gathered} \] Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В случае, когда \[ n \] - натуральное число, \[ (n - n) \] обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с \[ (n + 2) \] -го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном \[ n \] ряд (10.9) превращается в конечную сумму.