Применение степенных рядов для доказательства тождеств

С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях \[ x \] в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение \[ \frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots \]

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем \[ \frac{1}{{(1 - x)^2 }} = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n + 1)x^n + \ldots \] Если заменить здесь \[ x \] на – \[ x \] , то получим, что \[ \frac{1}{{(1 + x)^2 }} = 1 - 2x + 3x^2 - \ldots + ( - 1)^n (n + 1)x^n + \ldots \] Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что \[ \begin{gathered} \frac{1} {{(1 - x)^2 }}\frac{1} {{(1 + x)^2 }} = 1 + [1( - 2) + 2 \cdot 1]x + [1 \cdot 3 + 2( - 2) + 3 \cdot 1]x^2 + \hfill \\ \ldots + [1( - 1)^n (n + 1) + 2( - 1)^{n - 2} n + \ldots + ( - 1)^n (n + 1) \cdot 1]x^n + \ldots \hfill \\ \end{gathered} \]

Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях \[ x \] обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же \[ x^{2n} \] равен \[ 1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots + (2n + 1). \] Но функцию \[ \frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }} \] можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем \[ \frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }}=\frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }}, \] А разложение для \[ \frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }} \] получается из разложения (10.1), если заменить в нем \[ x \] на \[ x^2 \] : \[ \frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }}=1 + 2x^2 + 3x^4 + \ldots + (n + 1)x^{2n} +.... \] Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при \[ x^{2n} \] разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при \[ x^{2n} \] в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество: \[ 1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots + (2n + 1)=n + 1. \]

Производящие функции

Пусть дана некоторая последовательность чисел \[ a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots \] . Образуем степенной ряд \[ a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n + \ldots. \] Если этот ряд сходится в какой-то области к функции \[ f(x) \] , то эту функцию называют производящей для последовательности чисел \[ a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots \] Например, из формулы \[ \frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots \] вытекает, что функция \[ \frac{1} {{1 - x}} \] является производящей для последовательности чисел. А формула (10.1) показывает, что для последовательности чисел \[ 1, 2, 3, 4, ..., n, .. \] . производящей является функция \[ \frac{1} {{(1 - x)^2 }} \] .

Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей \[ a_0, a_1,\ldots,a_n,\ldots \] , так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью таких функций удается получить самые разные свойства этих последовательностей. Кроме того, мы рассмотрим, как связаны производящие функции с решением рекуррентных соотношений.