Алгоритмы рекуррентных соотношений

Случай равных корней характеристического уравнения

Рассмотрим случай, когда оба корня характеристического уравнения совпадают: . В этом случае выражение уже не будет общим решением. Ведь из-за того, что , это решение можно записать в виде

Остается только одно произвольное постоянное ; и выбрать его так, чтобы удовлетворить двум начальным условиям , вообще говоря, невозможно.Поэтому надо найти какое-нибудь второе решение, отличное от . Таким решением является . В самом деле, если квадратное уравнение имеет два совпадающих корня , то по теореме Виета . Поэтому уравнение записывается так: А тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид: Проверим, что действительно являются его решением. Имеем , а . Подставляя эти значения в соотношение (8.10), получаем очевидное тождество

Значит, - решение рассматриваемого соотношения.

Итак, имеются два решения и заданного соотношения. Его общее решение запишется так:

Теперь уже путем подбора можно удовлетворить любым начальным условиям.

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, порядок которых больше двух, решаются таким же способом. Пусть соотношение имеет вид

Составим характеристическое уравнение Если все корни этого алгебраического уравнения -й степени различны, то общее решение соотношения (8.3) имеет вид Если же, например, , то этому корню соответствуют решения рекуррентного соотношения (8.11). В общем решении этому корню соответствует часть

Составляя такое выражение для всех корней и складывая их, получаем общее решение соотношения (8.3).

Например, решим рекуррентное соотношение

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид Решая его, получим корни Значит, общее решение нашего соотношения имеет следующий вид: