Вычислимые функции, тезис Тьюринга-Черча и неразрешимые проблемы

В этом лекции мы установим, что классы частично рекурсивных функций, функций, вычислимых структурированными программами, и функций, вычислимых машинами Тьюринга, совпадают. Это (вместе с эквивалентностью этого класса многим другим определениям вычислимости, не рассматриваемым в этих лекциях) позволяет считать этот класс функций точно отражающим наши интуитивные представления о вычислимости.

Напомним, что в теореме 8.1 мы уже показали, что каждая ч.р.ф. вычислима некоторой структурированной программой.

Вычислимость частично рекурсивных функций по Тьюрингу

Теорема 10.1. Для всякой ч.р.ф. f существует м.Т. , вычисляющая функцию f.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по определению частично рекурсивной функции f.

Базис. Вычислимость простейших функций машинами Тьюринга очевидна.

Индукционный шаг. Покажем, что операторы суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации сохраняют вычислимость по Тьюрингу. Все используемые м.Т. будем предполагать односторонними со стандартными заключительными конфигурациями.

Суперпозиция. Пусть F^m и fⁿ₁,..., fⁿ_m - ч.р.ф., вычислимые на м.Т. , соответственно. Пусть функция Gⁿ получена из них с помощью суперпозиции: Gⁿ=[F^m;fⁿ₁,..., fⁿ_m]. Тогда м.Т. , вычисляющая G, работает следующим образом:

1. m раз копирует вход , отделяя одну копию от другой символом # ;
2. на полученном слове вида
3. запускает параллельную композицию машин и получает конфигурацию вида , где .
4. заменяет все символы 0023 на * ;
5. затем запускает программу м.Т. на получившемся после этапа 3) входе вида , и вычисляет требуемое значение .

Если обозначить м.Т., выполняющую копирование на этапе (1), через Коп^m, а м.Т., выполняющую замену # на * на этапе (3), через Зам_*^#, то требуемую для суперпозиции м.Т. можно представить как

Примитивная рекурсия. Пусть функция Fⁿ⁺¹(x₁,... ,x_n,y) получена с помощью оператора примитивной рекурсии из функций gⁿ(x₁,..., x_n) и fⁿ⁺²(x₁,... ,x_n, y, z), которые вычислимы на м.Т. и . Определим вспомогательные м.Т.:

• , используя , строит по входу вида конфигурацию на ленте
• , используя , строит по входу вида конфигурацию
• на входе вида выдает в качестве результата
• на входе вида проверяет условие .

Построение каждой из указанных м.Т. достаточно очевидно. Из них можно получить, используя определенные в предыдущем разделе конструкции "языка программирования" для машин Тьюринга, требуемую м.Т. :

Минимизация. Пусть и м.Т. вычисляет функцию gⁿ⁺¹. Определим следующие вспомогательные м.Т.:

приписывает аргумент 0 ко входу, т.е. вход вида переводит в конфигурацию на ленте (напомним, что при унарном кодировании 0 соответствует пустой символ).

копирует свой вход с разделителем #, т.е. по любому входу w выдает w # w.

Через E обозначим м.Т., которая ничего не делает.

Пусть , т.е. вход вида машина перерабатывает, используя , в , где z= g(x₁,... ,x_n, y)

на входе вида w # v проверяет непустоту v (т.е. условие v > 0 ).

Таким образом, при v=g(x₁,...,x_n,y) машина проверяет условие .

по входу вида стирает #w и прибавляет к y единицу, т.е. выдает результат: .

Наконец, по входу выдает |^y, стирая ненужные блоки символов.

Ясно, что каждая из перечисленных м.Т. , , , , и легко реализуема. Построим теперь с их помощью следующую м.Т. :

Из этого определения непосредственно следует, что вычисляет функцию fⁿ(x₁,..., x_n), заданную с помощью оператора минимизации.