НОУ ИНТУИТ | Введение в схемы, автоматы и алгоритмы. Лекция 7: Алгоритмы: структурированные программы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Аннотация: Алгоритмы и модели вычислений. Структурированные программы: синтаксис и семантика. Арифметические функции, вычислимые структурированными программами

Ключевые слова: алгоритм, множества, определение, объект, автомат Неймана, алгорифм, Лисп, структурированная программа, частично рекурсивная функция, арифметическая функция, кодирование, оператор присваивания, условный оператор, оператор цикла, синтаксис, переменная, выражение, цикла, тело цикла, программа, операционная семантика программы, состояние программы, отображение, значение, подмножество, функция, вычислимая программой, запись, in-line, место, выход, корректность

Что такое алгоритм?

Первоначальной целью теории алгоритмов является классификация всех задач на алгоритмически разрешимые и неразрешимые, т.е. на те, для которых существуют решающие их алгоритмы, и те, для которых таких алгоритмов нет. Неформально под алгоритмом $\mathcal{A}$ можно понимать выраженный в некотором языке набор правил (предписание, рецепт, способ), позволяющий применить к исходным (входным) данным x из некоторого множества допустимых данных X последовательность дискретных действий (операций, команд), приводящую к определенному результату - выходным данным $y= \mathcal{A(x)$ из некоторого множества Y. В этом случае говорят, что алгоритм $\mathcal{A}$ вычисляет функцию $F(x)= \mathcal{A}(x)$ типа X -> Y. Это нестрогое определение вполне подходит в тех случаях, когда для некоторой функции нам предъявляется "объект", называемый алгоритмом ее вычисления (например, алгоритм Эвклида для вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел), и можно легко проверить, позволяет ли он действительно вычислить требуемую функцию. Однако оно совершенно не годится для доказательства того, что для заданной функции никакого алгоритма нет.

Начиная с тридцатых годов ХХ века, был предпринят ряд исследований для формализации понятия алгоритма. Перечислим некоторые из предложенных разными авторами в разное время формальных моделей: машины Тьюринга-Поста, частично-рекурсивные функции (Гедель, Клини), $\lambda$ -исчисление (Черч, Клини), итеративные автоматы Неймана, нормальные алгорифмы Маркова, счетчиковые автоматы Минского, автоматы на графах Колмогорова-Барздиня и др. Заложенные в них идеи в значительной степени повлияли затем на архитектуру и языки программирования реальных компьютеров (например, на базе $\lambda$ -исчисления построен широко применяемый в задачах искусственного интеллекта язык ЛИСП, а из нормальных алгорифмов Маркова произошел хорошо подходящий для текстовой обработки язык РЕФАЛ). Каждый из многочисленных языков программирования также задает некоторую формальную модель алгоритмов. Мы вначале рассмотрим один из простейших таких языков - простые структурированные программы. А затем сравним их с двумя другими моделями алгоритмов: описаниями частично рекурсивных функций и машинами Тьюринга.

Хотя алгоритмы в разных прикладных областях имеют дело с дискретными объектами различных видов: целыми и рациональными числами, строками, формулами, разного рода выражениями, графами, матрицами, таблицами, точечными изображениями и др., мы в этой части курса будем рассматривать только задачи вычисления функций от натуральных аргументов, принимающих натуральные значения. Такие функции часто называют арифметическими. Дело в том, что для любого естественного множества дискретных объектов (в частности, для всех перечисленных выше) имеется простое кодирование его элементов целыми числами. Поэтому задачи вычисления функций на этих множествах превращаются в задачи вычисления арифметических функций.

Напомним, что через N обозначается множество натуральных чисел, т.е. N={0,1,2,...}. Для частичной n - местной арифметической функции f: Nⁿ -> N через $\Delta _{f}$ обозначим область ее определения. Чтобы указать, что f не определена на некотором наборе чисел a₁,..., a_n будем писать $f(a_{1},\dots , a_{n})=\infty$ , а если f на этом наборе определена, то будем писать $f(a_{1},\dots , a_{n}) < \infty$ . Таким образом, $\delta _{f} =\{ (a_{1},\dots , a_{n}) | f(a_{1},\dots , a_{n}) < \infty \}$ .

Структурированные программы

В этом разделе рассмотрим в качестве средства описания алгоритмов структурированные программы. Они вычисляют функции, используя минимальные средства: элементарные присваивания, условные операторы и циклы.

Определим вначале синтаксис структурированных программ. Зафиксируем для этого некоторое счетное множество имен переменных Var, которые будут использоваться в программах. Как обычно, будем считать, что оно включает имена x, x₁,x₂,..., y, y₁,..., z,z₁,... и т.п. В последующих определениях x, y, z - это произвольные переменные из Var.

Определение 7.1. Оператор присваивания. Присваивание - это выражение одного из следующих трех видов:

x := x+1
x := 0
x := y.

Определение 7.2. Условия. Условие - это выражение одного из двух видов:

а) x = y или б) x < y.

Структурированные программы определяются индуктивно.

Определение 7.3. Структурированные программы.

Каждое присваивание - это структурированная программа.
Если $\Pi _{1}$ и $\Pi _{2}$ - структурированные программы, то и $\Pi = \Pi _{1} ; \Pi _{2}$ - это структурированная программа.
Если $\Pi _{1}$ и $\Pi _{2}$ - структурированные программы, а $\Phi$ - это условие, то

$\Pi= \mbox{ если } \Phi \mbox{ то } \Pi_1 \mbox{ иначе } \Pi_2 \mbox{ конец }$

является структурированной программой.
Если $\Pi _{1}$ - структурированная программа, а $\Phi$ - это условие, то

$\Pi= \mbox{ пока } \Phi \mbox{ делай }\Pi_1$

все является структурированной программой.
Других структурированных программ нет.

Конструкция в п. (б) называется последовательным применением или композицией программ $\Pi _{1}$ и $\Pi _{2}$ , конструкция в п. (в) называется условным оператором ; конструкция в п. (г) - это оператор цикла, $\Phi$ - условие цикла, а $\Pi _{1}$ - тело цикла.

С помощью структурированных программ (далее называемых просто программами) вычисляются (частичные) функции от натуральных аргументов, принимающие натуральные значения. С каждой программой $\Pi$ свяжем естественным образом множество входящих в нее переменных $Var_{\Pi }$ (определите это множество индукцией по построению программы). В процессе работы программа изменяет значения этих переменных. Операционная семантика задает правила такого изменения.

Определение 7.4. Состояние - это отображение $\sigma$ из множества переменных Var во множество N. Для $x \in Var$ через $\sigma (x)$ обозначим значение переменной x в состоянии $\sigma.$ Через S обозначим множество всех состояний.

Разумеется, при рассмотрении конкретной программы $\Pi$ нас будут интересовать значения переменных из $Var_{\Pi }$ .

Определение 7.5. Операционная семантика программы $\Pi$ - это отбражение (вообще говоря, частичное) типа S -> S, которое программа $\Pi$ индуцирует на множестве всех состояний. Через $\Pi (\sigma )$ обозначим состояние - результат применения программы $\Pi$ к состоянию $\sigma$ . Оно определяется индукцией по построению программы.

$( x := x+1)(\sigma ) = \sigma _{1}$ , где $\sigma _{1}(y)=\sigma (y)$ при $y \ne x$ , и $\sigma _{1}(x)=\sigma (x)+1$ .
$( x := 0)(\sigma ) = \sigma _{1}$ , где $\sigma _{1}(y)=\sigma (y)$ при $y \ne x$ , и $\sigma _{1}(x)=0$ .
$( x := y)(\sigma ) = \sigma _{1}$ , где $\sigma _{1}(z)=\sigma (z)$ при $z \ne x$ , и $\sigma _{1}(x)=\sigma (y)$
Пусть $\Pi =\Pi _{1};\Pi _{2}$ . Тогда $\Pi (\sigma )=(\Pi _{1};\Pi _{2})(\sigma )=\Pi _{2}(\Pi _{1}(\sigma ))$ , при этом, если $\Pi _{1}(\sigma )=\infty$ или $\sigma _{1}=\Pi _{1}(\sigma )$ и $\Pi _{2}(\sigma _{1})=\infty$ , то и $\Pi (\sigma )=\infty$ .
Пусть $\Pi =$ если x = y то $\Pi _{1}$ иначе $\Pi _{2}$ конец. Тогда

$\Pi(\sigma)= \left\{\begin{array}{ll} \Pi_1(\sigma), & \textit{если}\ \Pi_1(\sigma)< \infty \ \textit{ и }\ \sigma(x)=\sigma(y)\\ \Pi_2(\sigma), & \textit{если}\ \Pi_2(\sigma)< \infty \ \textit{ и }\ \sigma(x)\neq \sigma(y)\\ \infty & \textit{в остальных случаях} \end{array} \right.$
Пусть $\Pi =$ если x < y то $\Pi _{1}$ иначе $\Pi _{2}$ конец. Тогда

$\Pi(\sigma)= \left\{\begin{array}{ll} \Pi_1(\sigma), & \textit{если}\ \Pi_1(\sigma)< \infty \ \textit{ и }\ \sigma(x)<\sigma(y)\\ \Pi_2(\sigma), & \textit{если}\ \Pi_2(\sigma)< \infty \ \textit{ и }\ \sigma(x)\geq \sigma(y)\\ \infty & \textit{в остальных случаях} \end{array} \right.$
Пусть $\Pi =$ пока x = y делай $\Pi _{1}$ все. Тогда при $\sigma (x) \ne \sigma (y)$ $\Pi (\sigma )= \sigma$ , а при $\sigma (x) = \sigma (y) \Pi (\sigma )$ - это первое такое состояние $\sigma _{m}$ в последовательности состояний $\sigma _{0}=\sigma , \sigma _{1}=\Pi (\sigma _{0}),\dots , \sigma _{i+1}=\Pi (\sigma _{i}),..$ ., что при i <= m все состояния $\sigma _{i}$ определены, при i <m имеет место $\sigma _{i}(x) = \sigma _{i}(y)$ , и $\sigma _{m}(x) \ne \sigma _{m}(y)$ .
Семантику для цикла с условием x < y определите самостоятельно (см. задачу 7.1).

Пусть $\Pi$ - программа, $Var_{\Pi }$ - множество ее переменных. Выделим среди эти переменных некоторое подмножество входных переменных x₁,..., x_n и одну результирующую (выходную) переменную y (она может быть одной из входных). Переменные из $Var_{\Pi }$ , не являющиеся входными, будем называть вспомогательными.

Дальше >>

Введение в схемы, автоматы и алгоритмы

Алгоритмы: структурированные программы

Что такое алгоритм?

Структурированные программы

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в схемы, автоматы и алгоритмы

Алгоритмы: структурированные программы

Что такое алгоритм?

Структурированные программы

Вопросы и ответы

Студенты