Линейные подпространства линейных пространств
Линейные подпространства линейных пространств
Пусть K - поле, K V - линейное пространство над полем K. Непустое подмножество называется линейным подпространством линейного пространства K V, если:
-
для всех
;
-
для всех
,
.
Ясно, что K U - линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве K V.
Если U - линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве KV, , то
. Действительно, если элементы
линейно независимы в K U, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве K V,
, поэтому
.
Если K U - линейное подпространство линейного пространства K V, и
, то K U=K V. Действительно, если {u1,...,un} - базис линейного пространства
, то эти n элементов u1,...,un линейно независимы в K V и
, поэтому {u1,...,un} - базис линейного пространства K V. Итак, каждый элемент
имеет вид
,
, т. е. K V=K U.
Пересечение линейных подпространств
Лемма 9.11.1. Пересечение
![U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i](/sites/default/files/tex_cache/ed3f7fc0b3f487eabc22ce08105a25d7.png)
![\{U_i\subset {}_K V\mid i\in I\}](/sites/default/files/tex_cache/bddea4f0f9fe02320b0b165a3dd9a164.png)
Доказательство. Если ,
, то
для любого
, поэтому
для любого
, т. е.
.
Следствие 9.11.2. Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то - линейное подпространство в {K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U1 и в U2 ).
Сумма линейных подпространств
Если U1 и U2 - линейные подпространства линейного пространства K V, то сумма линейных подпространств
![U_1+U_2 = \{u_1+u_2\mid u_1\in U_1,\ u_2\in U_2\}](/sites/default/files/tex_cache/0af62f44d5b7db65299e88c4b8623f48.png)
![u_1+u_2,u'_1+u'_2\in U_1+U_2](/sites/default/files/tex_cache/7496384523eb17cea60da1eb07bf809a.png)
![u_1,u'_1\in U_1](/sites/default/files/tex_cache/31b2dd1bbd048a0deee56c2e9a0bd9d4.png)
![u_2,u'_2\in U_2](/sites/default/files/tex_cache/c74567104c37f7b9dd9ac4baff660360.png)
![k\in K](/sites/default/files/tex_cache/0c9b6656fb7f2dfd78d3d1e45574732c.png)
![\begin{align*}
(u_1+u_2)+(u'_1+u'_2) &= (u_1+u'_1)+(u_2+u'_2)\in U_1+U_2;\\
k(u_1+u_2) &= ku_1+ku_2\in U_1+U_2.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/ee0f98bc3b59b9e8d5104d6805c29a86.png)
Замечание 9.12.1. U1+U2 - наименьшее линейное подпространство среди линейных подпространств, содержащих одновременно U1 и U2. Более того,
![U_1+U_2=\bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ U_1\subseteq U,\ U_2\subseteq U}} U.](/sites/default/files/tex_cache/dea9bf87be3cefe00d772edc25b10ff0.png)
Замечание 9.12.2. Если U, U1, U2, U3 - линейные подпространства в K V, то
![\begin{gathe}
U\cap U = U,\quad U+U = U,\\
U_1\cap U_2 = U_2\cap U_1, \quad U_1 + U_2 = U_2 + U_1,\\
U_1\cap (U_2\cap U_3) = (U_1\cap U_2)\cap U_3,\\
U_1 + (U_2+U_3) = (U_1+U_2)+U_3,\\
U_1\cap (U_1+U_2) = U_1,\quad U_1+(U_1\cap U_2)=U_1.
\end{gathe}](/sites/default/files/tex_cache/f304b459b358426acbdf666bee9660ec.png)
Линейная оболочка элементов линейного пространства
Пусть K V - линейное пространство, . Рассмотрим
![\langle v_1,...,v_m\rangle= \{k_1v_1+...+k_mv_m\mid k_1,...,k_m\in K\} \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/c9458b28e9a2d22e2a74f0755243c16e.png)
![k_1,...,k_m\in K](/sites/default/files/tex_cache/9ce0824b2c1322f6c87238b589997439.png)
![\langle v_1,...,v_m\rangle](/sites/default/files/tex_cache/aa961456253df7699ca17a8db642a8b9.png)
![\begin{mult}
(k_1v_1+...+k_mv_m)+(l_1v_1+...+l_mv_m)={}
\\
{}=
(k_1+l_1)v_1+...+(k_m+l_m)v_m;
\end{mult}](/sites/default/files/tex_cache/eef769513931967f7b5dcf114232db15.png)
![v_1,...,v_m\in U](/sites/default/files/tex_cache/8116c4d229daf4ada33a8a3d87e420a7.png)
![k_1v_1+...+k_mv_m\in U](/sites/default/files/tex_cache/1e8adf187443c77355faa1e260dbce4b.png)
![\langle v_1,...,v_m\rangle\subseteq U](/sites/default/files/tex_cache/19abbeb8dba575492ed4b82f4265b3b0.png)
![\langle v_1,...,v_m\rangle = \bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ v_1,...,v_m\in U}} U.](/sites/default/files/tex_cache/7f2cd83c2009758d132dcf3f88c72f91.png)
Замечание 9.13.1. Если , то
,
; если v=0,
.
Замечание 9.13.2. .
Замечание 9.13.3. ; любая максимальная линейно независимая подсистема в {v1,...,vm} является базисом линейного подпространства
.
Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме.
Теорема 9.13.4 (о замене). Пусть - линейно независимая система,
, {u1,...,ur} - линейно независимая система элементов. Тогда
и
![\langle v_1,...,v_s\rangle = \langle u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\rangle,](/sites/default/files/tex_cache/357dcd84c5f789984c8d8992b928662d.png)
![1 \leq i_{r+1}<...<i_s \leq s.](/sites/default/files/tex_cache/973a67d3eaacb063b6d45589d6ae99e7.png)
Доказательство. Так как , то
. Если r=s, то
. Если r<s, то найдется
(индекс ir+1 - минимальный с этим свойством). Продолжая этот процесс, построим базис
в
.
Следствие 9.13.5. Пусть U, W - линейные подпространства в K V и ,
,
. Тогда
и любой базис подпространства U можно дополнить m-l элементами до базиса подпространства W. В частности, если
и l=m, то U=W.
Теорема 9.13.6 (формула размерности). Пусть U, W - линейные подпространства в K V, . Тогда
![\dim {}_K U+\dim {}_K W = \dim {}_K (U\cap W) + \dim {}_K (U+W),](/sites/default/files/tex_cache/715be55ba0e4d8d18073f0444cd6fdd3.png)
![\dim {}_K (U+W) = \dim {}_K U+\dim {}_K W - \dim {}_K (U\cap W).](/sites/default/files/tex_cache/a7b6f32442063c2660fe823b6e5376f6.png)
Доказательство. Пусть ,
,
. Ясно, что
,
. При d=0 утверждение очевидно (объединение базисов в U и W дает базис в U+W ). Выберем базис v1,...,vd линейного пространства
и дополним его до базиса v1,...,vd,u1,...,us-d линейного пространства U и до базиса v1,...,vd,w1,...,wt-d линейного пространства W. Ясно, что
![U+W=\langle v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\rangle.](/sites/default/files/tex_cache/e1f2b53148756b1cc417a5cb8f42afb5.png)
![\lambda_1 v_1 +...+\lambda_d v_d + \mu_1 u_1 +...+ \mu_{s-d} u_{s-d} + \gamma_1 w_1 +...+ \gamma_{t-d}w_{t-d}=0,](/sites/default/files/tex_cache/d9ded403a112faf79da9fa30371437c8.png)
![\sum_{i=1}^{d}\lambda_i v_i +
\sum_{j=1}^{s-d} \mu_j u_j = -\sum_{k=1}^{t-d}
\gamma_k w_k \in U\cap W,](/sites/default/files/tex_cache/b2b63d767934b8d81edadf9484b7ec60.png)
![\mu_1=...=\mu_{s-d}=0](/sites/default/files/tex_cache/83b387742a9208563c7fff8b7c8b5fa3.png)
![\gamma_1=...=\gamma_{t-d}=0](/sites/default/files/tex_cache/778fdfd025808901e9477d0e49f6f8ad.png)
![\lambda_1=...=\lambda_d=0](/sites/default/files/tex_cache/ffece93aa73c81fa37f7a9d4a2cdb15c.png)
![\{v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\}\text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/bed847af572b3723b182320c4ea99b07.png)
![\dim {}_K U+\dim {}_K W=\dim {}_K U\cap W + \dim {}_K (U+W).](/sites/default/files/tex_cache/c2910af24cc996563b40fe24c1504267.png)
Теорема 9.13.7 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть , U - линейное подпространство в K V. Тогда существует линейное подпространство W в K V такое, что
![U+W=V,\quad U\cap W=\{0\},](/sites/default/files/tex_cache/6bbe7f1ffe7ab91869f332d1bcffc1db.png)
![{}_K V=U\oplus W](/sites/default/files/tex_cache/e5166d64c2706a6cefc15dca4814b47f.png)
Доказательство. Если и {u1,...,ur} - базис в K U, то дополним его до базиса линейного пространства K V: u1,...,ur,v1,...,vn-r. Пусть
. Тогда K V=U+W,
.
Замечание 9.13.8. Конечно, прямое дополнение определено неоднозначно, однако все прямые дополнения линейного пространства изоморфны (а именно, все они имеют размерность ).
Замечание 9.13.9. Если , то представление элемента
в виде v=u+w,
,
, определено однозначно (действительно, если v=u+w=u'+w',
,
, то
, следовательно, u=u', w=w' ), и поэтому линейное пространство
изоморфно \emph{внешней прямой} сумме
линейных пространств K U и K W с естественными операциями сложения пар и их умножения на
.
Пример 9.13.10 (прямого разложения). Пусть
![\begin{gathe}
V=\mM_n( R),\quad U=\{A\in M_n( R)\mid A^*=A\},\\
W=\{A\in M_n( R)\mid A^*=-A\}.
\end{gathe}](/sites/default/files/tex_cache/87936094122bd4c7b6d32abe7dea7bc9.png)
![{}_{ R} V=U\oplus W.](/sites/default/files/tex_cache/a2cb2bad8030c866c0999c9426ce4908.png)
![A=\frac{A+A^*}{2}+\frac{A-A^*}{2}](/sites/default/files/tex_cache/a66d41bd252aea0e415f578154cdf799.png)
![A=0\in \mM_n( R)](/sites/default/files/tex_cache/9e0928cda2d18992fea2322d2c9a6149.png)